直線 $2x - y - 1 = 0$ に関して、点 $A(0, 4)$ と対称な点 $B$ の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

直線 $2x - y - 1 = 0$ に関して、点 $A(0, 4)$ と対称な点 $B$ の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

点 $B$ の座標を $(s, t)$ とします。

まず、線分 $AB$ の中点 $M$ は、直線 $2x - y - 1 = 0$ 上にあります。

$M$ の座標は $(\frac{0 + s}{2}, \frac{4 + t}{2}) = (\frac{s}{2}, \frac{4 + t}{2})$ です。

この点が直線 $2x - y - 1 = 0$ 上にあるので、次の式が成り立ちます。

$2 \cdot \frac{s}{2} - \frac{4 + t}{2} - 1 = 0$

$s - \frac{4 + t}{2} - 1 = 0$

$2s - (4 + t) - 2 = 0$

$2s - t - 6 = 0$

次に、直線 $AB$ は直線 $2x - y - 1 = 0$ と垂直です。

直線 $2x - y - 1 = 0$ の傾きは $2$ です。

直線 $AB$ の傾きは $\frac{t - 4}{s - 0} = \frac{t - 4}{s}$ です。

垂直な直線の傾きの積は $-1$ なので、次の式が成り立ちます。

$2 \cdot \frac{t - 4}{s} = -1$

$2(t - 4) = -s$

$2t - 8 = -s$

$s = -2t + 8$

これで2つの式ができました。

$2s - t - 6 = 0$

$s = -2t + 8$

$s$ を消去するために、2番目の式を1番目の式に代入します。

$2(-2t + 8) - t - 6 = 0$

$-4t + 16 - t - 6 = 0$

$-5t + 10 = 0$

$5t = 10$

$t = 2$

$t = 2$ を $s = -2t + 8$ に代入します。

$s = -2(2) + 8$

$s = -4 + 8$

$s = 4$

よって、点 $B$ の座標は $(4, 2)$ です。

3. 最終的な答え

$(4, 2)$