四面体ABCDにおいて、$AB=BC=CA=8$, $BD=10$, $\cos \angle ABD = \frac{23}{32}$, $\cos \angle CAD = \frac{11}{14}$が与えられている。 (1) 辺ADの長さを求めよ。 (2) 辺CDの長さを求めよ。 (3) $\angle ACD$の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

四面体ABCDにおいて、$AB=BC=CA=8$, $BD=10$, $\cos \angle ABD = \frac{23}{32}$, $\cos \angle CAD = \frac{11}{14}$が与えられている。

(1) 辺ADの長さを求めよ。

(2) 辺CDの長さを求めよ。

(3) $\angle ACD$の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABD$において、余弦定理を用いることでADの長さを求める。

余弦定理より、

$AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2 \cdot AB \cdot BD \cdot \cos \angle ABD$

$AD^2 = 8^2 + 10^2 - 2 \cdot 8 \cdot 10 \cdot \frac{23}{32}$

$AD^2 = 64 + 100 - \frac{3680}{32} = 164 - 115 = 49$

$AD = \sqrt{49} = 7$

(2) $\triangle CAD$において、余弦定理を用いることでCDの長さを求める。

余弦定理より、

$CD^2 = CA^2 + AD^2 - 2 \cdot CA \cdot AD \cdot \cos \angle CAD$

$CD^2 = 8^2 + 7^2 - 2 \cdot 8 \cdot 7 \cdot \frac{11}{14}$

$CD^2 = 64 + 49 - 112 \cdot \frac{11}{14} = 113 - 8 \cdot 11 = 113 - 88 = 25$

$CD = \sqrt{25} = 5$

(3) $\triangle ACD$において、余弦定理を用いることで$\cos \angle ACD$を求める。

$AD=7$, $CA=8$, $CD=5$

$\cos \angle ACD = \frac{AC^2 + CD^2 - AD^2}{2 \cdot AC \cdot CD}$

$\cos \angle ACD = \frac{8^2 + 5^2 - 7^2}{2 \cdot 8 \cdot 5} = \frac{64+25-49}{80} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2}$

よって、$\angle ACD = 60^\circ$

3. 最終的な答え

(1) $AD = 7$

(2) $CD = 5$

(3) $\angle ACD = 60^\circ$