袋の中に白玉3個と黒玉5個が入っている。この袋から同時に2個の玉を取り出すとき、2個とも同じ色の玉が出る確率を求める。

1. 問題の内容

袋の中に白玉3個と黒玉5個が入っている。この袋から同時に2個の玉を取り出すとき、2個とも同じ色の玉が出る確率を求める。

2. 解き方の手順

まず、袋から2個の玉を取り出す全ての場合の数を計算する。これは、8個から2個を選ぶ組み合わせなので、$_8C_2$となる。

次に、2個とも白玉である場合の数を計算する。これは、3個の白玉から2個を選ぶ組み合わせなので、$_3C_2$となる。

同様に、2個とも黒玉である場合の数を計算する。これは、5個の黒玉から2個を選ぶ組み合わせなので、$_5C_2$となる。

2個とも同じ色の玉が出る場合の数は、2個とも白玉の場合の数と2個とも黒玉の場合の数を足し合わせたものになる。

求める確率は、2個とも同じ色の玉が出る場合の数を、2個の玉を取り出す全ての場合の数で割ることで得られる。

具体的な計算は以下の通り。

* 全ての場合の数:

$_8C_2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$

* 2個とも白玉の場合の数:

$_3C_2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(1)} = 3$

* 2個とも黒玉の場合の数:

$_5C_2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

* 2個とも同じ色の玉が出る場合の数:

$3 + 10 = 13$

* 求める確率:

$\frac{13}{28}$

3. 最終的な答え

$\frac{13}{28}$