ある飲料メーカーが新商品を開発し、256人に試飲してもらい、どちらを好むか調査したところ、142人が新商品を好んだ。有意水準5%で、新商品を好む人が多いと判断してよいか検定し、適切な選択肢を選ぶ。

1. 問題の内容

ある飲料メーカーが新商品を開発し、256人に試飲してもらい、どちらを好むか調査したところ、142人が新商品を好んだ。有意水準5%で、新商品を好む人が多いと判断してよいか検定し、適切な選択肢を選ぶ。

2. 解き方の手順

この問題は、比率の検定を用いて解きます。

(1) 帰無仮説と対立仮説を設定します。

* 帰無仮説 (H0): 新商品を好む人の割合は50%である。

* 対立仮説 (H1): 新商品を好む人の割合は50%より大きい。

(2) 標本比率を計算します。

標本比率 $\hat{p}$ は、新商品を好む人の割合であり、$\hat{p} = \frac{142}{256} \approx 0.5547$ です。

(3) 検定統計量を計算します。

検定統計量 $z$ は、以下の式で計算されます。

$z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}$

ここで、$p_0$ は帰無仮説における母比率（0.5）、$n$ はサンプルサイズ（256）です。

$z = \frac{0.5547 - 0.5}{\sqrt{\frac{0.5(1-0.5)}{256}}} = \frac{0.0547}{\sqrt{\frac{0.25}{256}}} = \frac{0.0547}{\frac{0.5}{16}} = \frac{0.0547}{0.03125} \approx 1.75$

(4) p値を計算します。

$z = 1.75$に対応するp値を正規分布表から求めます。

正規分布表から、$P(Z \le 1.75) = 0.4599 + 0.5 = 0.9599$ です。

有意水準は5%なので、片側検定の閾値は$1 - 0.05 = 0.95$となります。

$0.9599 > 0.95$より、有意水準5%で帰無仮説を棄却できます。

$z=1.75$ から、$1-0.9599 = 0.0401$なので、p値は0.0401です。

$p = 0.0401 < 0.05$ より、有意水準5%で帰無仮説を棄却します。

(5) 結論を導き出します。

p値が有意水準よりも小さいので、帰無仮説を棄却し、対立仮説を支持します。つまり、新商品を好む人の割合は50%より大きいと判断できます。

3. 最終的な答え

① 新商品を好む人の方が多いと判断できる。