次の方程式と不等式を解きます。 (1) $\log_5 x^2 = 4$ (2) $\log_{\frac{1}{2}} x > -\frac{2}{3}$ (3) $\log_3 (2x-1) + \log_3 (x+3) = 2$ (4) $\log_2 (x-1) \geq \log_4 (5x-9)$

1. 問題の内容

次の方程式と不等式を解きます。

(1) $\log_5 x^2 = 4$

(2) $\log_{\frac{1}{2}} x > -\frac{2}{3}$

(3) $\log_3 (2x-1) + \log_3 (x+3) = 2$

(4) $\log_2 (x-1) \geq \log_4 (5x-9)$

2. 解き方の手順

(1) $\log_5 x^2 = 4$ の場合、

真数は正である必要があるので、$x^2 > 0$。したがって、$x \neq 0$。

$\log_5 x^2 = 4$ を指数形式に変換すると、

$x^2 = 5^4 = 625$

$x = \pm \sqrt{625} = \pm 25$

したがって、$x = 25$ または $x = -25$。

(2) $\log_{\frac{1}{2}} x > -\frac{2}{3}$ の場合、

真数は正である必要があるので、$x > 0$。

$\log_{\frac{1}{2}} x > -\frac{2}{3}$ を指数形式に変換すると、底が1より小さいので不等号の向きが変わります。

$x < (\frac{1}{2})^{-\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4}$

したがって、$0 < x < \sqrt[3]{4}$。

(3) $\log_3 (2x-1) + \log_3 (x+3) = 2$ の場合、

真数は正である必要があるので、$2x-1 > 0$ かつ $x+3 > 0$。

したがって、$x > \frac{1}{2}$ かつ $x > -3$。したがって、$x > \frac{1}{2}$。

$\log_3 (2x-1) + \log_3 (x+3) = 2$ を対数の性質を用いて変形すると、

$\log_3 ((2x-1)(x+3)) = 2$

$(2x-1)(x+3) = 3^2 = 9$

$2x^2 + 6x - x - 3 = 9$

$2x^2 + 5x - 12 = 0$

$(2x-3)(x+4) = 0$

$x = \frac{3}{2}$ または $x = -4$

$x > \frac{1}{2}$ より、$x = \frac{3}{2}$。

(4) $\log_2 (x-1) \geq \log_4 (5x-9)$ の場合、

真数は正である必要があるので、$x-1 > 0$ かつ $5x-9 > 0$。

したがって、$x > 1$ かつ $x > \frac{9}{5}$。したがって、$x > \frac{9}{5}$。

$\log_2 (x-1) \geq \log_4 (5x-9)$ を底を2に変換して変形すると、

$\log_2 (x-1) \geq \frac{\log_2 (5x-9)}{\log_2 4} = \frac{\log_2 (5x-9)}{2}$

$2 \log_2 (x-1) \geq \log_2 (5x-9)$

$\log_2 (x-1)^2 \geq \log_2 (5x-9)$

$(x-1)^2 \geq 5x-9$

$x^2 - 2x + 1 \geq 5x - 9$

$x^2 - 7x + 10 \geq 0$

$(x-2)(x-5) \geq 0$

$x \leq 2$ または $x \geq 5$

$x > \frac{9}{5}$ より、$\frac{9}{5} < x \leq 2$ または $x \geq 5$。

3. 最終的な答え

(1) $x = 25, -25$

(2) $0 < x < \sqrt[3]{4}$

(3) $x = \frac{3}{2}$

(4) $\frac{9}{5} < x \leq 2$ または $x \geq 5$