2次関数 $y = -x^2 + 2x$ の $a \le x \le a+2$ における最大値を、$a$ の関数 $M(a)$ として求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -x^2 + 2x$ の $a \le x \le a+2$ における最大値を、$a$ の関数 $M(a)$ として求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y = -x^2 + 2x$ を平方完成します。

$y = -(x^2 - 2x) = -(x^2 - 2x + 1 - 1) = -(x - 1)^2 + 1$

よって、この2次関数の軸は $x = 1$ であり、頂点の座標は $(1, 1)$ です。上に凸な放物線であることもわかります。

次に、定義域 $a \le x \le a+2$ と軸 $x = 1$ の位置関係によって場合分けをして、$M(a)$ を求めます。

(i) $a+2 < 1$ のとき、すなわち $a < -1$ のとき

定義域は $a \le x \le a+2$ であり、軸 $x=1$ はこの区間より右側にあります。したがって、$x = a$ で最大値をとります。

$M(a) = -a^2 + 2a$

(ii) $a \le 1 \le a+2$ のとき、すなわち $-1 \le a \le 1$ のとき

定義域 $a \le x \le a+2$ に軸 $x = 1$ が含まれます。したがって、$x = 1$ で最大値をとります。

$M(a) = -(1)^2 + 2(1) = -1 + 2 = 1$

(iii) $a > 1$ のとき

定義域は $a \le x \le a+2$ であり、軸 $x=1$ はこの区間より左側にあります。したがって、$x = a+2$ で最大値をとります。

$M(a) = -(a+2)^2 + 2(a+2) = -(a^2 + 4a + 4) + 2a + 4 = -a^2 - 4a - 4 + 2a + 4 = -a^2 - 2a$

以上より、$M(a)$ は次のように表されます。

$M(a) = \begin{cases} -a^2 + 2a & (a > 1 \text{ のとき}) \\ 1 & (-1 \le a \le 1 \text{ のとき}) \\ -a^2 - 2a & (a < -1 \text{ のとき}) \end{cases}$

3. 最終的な答え

$M(a) = \begin{cases} -a^2 - 2a & (a < -1 \text{ のとき}) \\ 1 & (-1 \le a \le 1 \text{ のとき}) \\ -a^2 + 2a & (a > 1 \text{ のとき}) \end{cases}$