次の2つの2次式を複素数の範囲で因数分解します。 (1) $2x^2 - 2x - 3$ (2) $x^2 - 2x + 5$

1. 問題の内容

次の2つの2次式を複素数の範囲で因数分解します。

(1) $2x^2 - 2x - 3$

(2) $x^2 - 2x + 5$

2. 解き方の手順

(1) $2x^2 - 2x - 3$ を因数分解します。

まず、$2x^2 - 2x - 3 = 0$ の解を求めます。

解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を用いて、

$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(2)(-3)}}{2(2)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 24}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{4} = \frac{2 \pm 2\sqrt{7}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{2}$

したがって、$x_1 = \frac{1 + \sqrt{7}}{2}, x_2 = \frac{1 - \sqrt{7}}{2}$ です。

よって、$2x^2 - 2x - 3 = 2(x - \frac{1 + \sqrt{7}}{2})(x - \frac{1 - \sqrt{7}}{2})$ と因数分解できます。

(2) $x^2 - 2x + 5$ を因数分解します。

まず、$x^2 - 2x + 5 = 0$ の解を求めます。

解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を用いて、

$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(5)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i$

したがって、$x_1 = 1 + 2i, x_2 = 1 - 2i$ です。

よって、$x^2 - 2x + 5 = (x - (1 + 2i))(x - (1 - 2i))$ と因数分解できます。

これは、$(x - 1 - 2i)(x - 1 + 2i)$ とも書けます。

3. 最終的な答え

(1) $2(x - \frac{1 + \sqrt{7}}{2})(x - \frac{1 - \sqrt{7}}{2})$

(2) $(x - (1 + 2i))(x - (1 - 2i))$