$\tan{\alpha}=2$, $\tan{\beta}=5$, $\tan{\gamma}=8$のとき、$\tan{(\alpha+\beta)}$と$\tan{(\alpha+\beta+\gamma)}$の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\tan{\alpha}=2$, $\tan{\beta}=5$, $\tan{\gamma}=8$のとき、$\tan{(\alpha+\beta)}$と$\tan{(\alpha+\beta+\gamma)}$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\tan{(\alpha+\beta)}$の値を求めます。

$\tan$の加法定理より、

$\tan{(\alpha+\beta)} = \frac{\tan{\alpha}+\tan{\beta}}{1-\tan{\alpha}\tan{\beta}}$

$\tan{\alpha}=2$, $\tan{\beta}=5$を代入すると、

$\tan{(\alpha+\beta)} = \frac{2+5}{1-2\cdot5} = \frac{7}{1-10} = \frac{7}{-9} = -\frac{7}{9}$

(2) $\tan{(\alpha+\beta+\gamma)}$の値を求めます。

$\tan{(\alpha+\beta+\gamma)} = \tan{((\alpha+\beta)+\gamma)}$と変形して、$\tan$の加法定理を適用します。

$\tan{(\alpha+\beta+\gamma)} = \frac{\tan{(\alpha+\beta)}+\tan{\gamma}}{1-\tan{(\alpha+\beta)}\tan{\gamma}}$

$\tan{(\alpha+\beta)} = -\frac{7}{9}$, $\tan{\gamma}=8$を代入すると、

$\tan{(\alpha+\beta+\gamma)} = \frac{-\frac{7}{9}+8}{1-(-\frac{7}{9})\cdot8} = \frac{-\frac{7}{9}+\frac{72}{9}}{1+\frac{56}{9}} = \frac{\frac{65}{9}}{\frac{9}{9}+\frac{56}{9}} = \frac{\frac{65}{9}}{\frac{65}{9}} = 1$

3. 最終的な答え

(1) $\tan{(\alpha+\beta)} = -\frac{7}{9}$

(2) $\tan{(\alpha+\beta+\gamma)} = 1$