与えられた4つの複素数の除算を計算する問題です。具体的には、以下の計算を行います。 (1) $\frac{2-i}{3+i}$ (2) $\frac{4}{1-i}$ (3) $\frac{2-i}{2+i}$ (4) $\frac{1}{2i}$

1. 問題の内容

与えられた4つの複素数の除算を計算する問題です。具体的には、以下の計算を行います。

(1) $\frac{2-i}{3+i}$

(2) $\frac{4}{1-i}$

(3) $\frac{2-i}{2+i}$

(4) $\frac{1}{2i}$

2. 解き方の手順

複素数の除算を行うには、分母の共役複素数を分母と分子の両方に掛けます。

(1) $\frac{2-i}{3+i}$の場合：

分母の共役複素数は $3-i$ なので、分母と分子に $3-i$ を掛けます。

$\frac{2-i}{3+i} = \frac{(2-i)(3-i)}{(3+i)(3-i)} = \frac{6 - 2i - 3i + i^2}{9 - 3i + 3i - i^2}$

$i^2 = -1$ を代入すると、

$\frac{6 - 5i - 1}{9 - (-1)} = \frac{5 - 5i}{10} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$

(2) $\frac{4}{1-i}$の場合：

分母の共役複素数は $1+i$ なので、分母と分子に $1+i$ を掛けます。

$\frac{4}{1-i} = \frac{4(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{4+4i}{1 + i - i - i^2} = \frac{4+4i}{1-(-1)} = \frac{4+4i}{2} = 2 + 2i$

(3) $\frac{2-i}{2+i}$の場合：

分母の共役複素数は $2-i$ なので、分母と分子に $2-i$ を掛けます。

$\frac{2-i}{2+i} = \frac{(2-i)(2-i)}{(2+i)(2-i)} = \frac{4 - 2i - 2i + i^2}{4 - 2i + 2i - i^2} = \frac{4 - 4i - 1}{4 - (-1)} = \frac{3 - 4i}{5} = \frac{3}{5} - \frac{4}{5}i$

(4) $\frac{1}{2i}$の場合：

分母の共役複素数は $-2i$ なので、分母と分子に $-2i$ を掛けます。あるいは、分母と分子に $i$ を掛けても良いです。

$\frac{1}{2i} = \frac{1 \cdot i}{2i \cdot i} = \frac{i}{2i^2} = \frac{i}{2(-1)} = \frac{i}{-2} = -\frac{1}{2}i$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$

(2) $2 + 2i$

(3) $\frac{3}{5} - \frac{4}{5}i$

(4) $-\frac{1}{2}i$