問題11：複素数$\alpha$について、次のことを証明せよ。 $|\alpha| = 1$のとき、$\bar{\alpha} + \frac{1}{\alpha}$は実数である。 問題12：$|z + i| = |z + 3i|$のとき、等式$z - \bar{z} = -4i$が成り立つことを示せ。

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

問題11：複素数$\alpha$について、次のことを証明せよ。

$|\alpha| = 1$のとき、$\bar{\alpha} + \frac{1}{\alpha}$は実数である。

問題12：$|z + i| = |z + 3i|$のとき、等式$z - \bar{z} = -4i$が成り立つことを示せ。

2. 解き方の手順

問題11：

$|\alpha| = 1$という条件から、$\alpha \bar{\alpha} = |\alpha|^2 = 1$が成り立ちます。したがって、$\bar{\alpha} = \frac{1}{\alpha}$となります。

ここで、$\bar{\alpha} + \frac{1}{\alpha} = \bar{\alpha} + \bar{\alpha} = 2\bar{\alpha}$となります。

複素数$z$が実数であることと、$z = \bar{z}$であることは同値です。

したがって、$\bar{\alpha} + \frac{1}{\alpha}$が実数であることを示すには、$\overline{\bar{\alpha} + \frac{1}{\alpha}} = \bar{\alpha} + \frac{1}{\alpha}$を示せばよいです。

$\overline{\bar{\alpha} + \frac{1}{\alpha}} = \overline{\bar{\alpha}} + \overline{\frac{1}{\alpha}} = \alpha + \frac{1}{\bar{\alpha}} = \alpha + \frac{\alpha}{\alpha \bar{\alpha}} = \alpha + \frac{\alpha}{1} = \alpha + \alpha = 2\alpha$

ここで$2\alpha= 2\bar{\alpha}$を示したい。つまり$\alpha=\bar{\alpha}$であることを示したいが、これは条件から導けないので、別のアプローチを考える。

$\bar{\alpha} = \frac{1}{\alpha}$より、$\bar{\alpha} + \frac{1}{\alpha} = \bar{\alpha} + \bar{\alpha} = 2\bar{\alpha}$。

一方、

$\overline{\bar{\alpha} + \frac{1}{\alpha}} = \overline{\bar{\alpha}} + \overline{\frac{1}{\alpha}} = \alpha + \frac{1}{\overline{\alpha}} = \alpha + \alpha = 2\alpha$。

したがって、$\bar{\alpha} + \frac{1}{\alpha}$が実数であるためには、$2\bar{\alpha} = 2\alpha$であればよい。つまり、$\bar{\alpha} = \alpha$。これは$\alpha$が実数であるという条件になる。

別の考え方として、

$\alpha = a + bi$とおくと、 $|\alpha| = 1$より、$a^2 + b^2 = 1$。

$\bar{\alpha} + \frac{1}{\alpha} = a - bi + \frac{1}{a + bi} = a - bi + \frac{a - bi}{a^2 + b^2} = a - bi + a - bi = 2a - 2bi$。

これが実数であるためには、$-2b = 0$、つまり$b = 0$。

すると、$\alpha = a$となり、$|\alpha| = |a| = 1$より、$a = \pm 1$。

したがって、$\alpha$が実数ならば$\bar{\alpha} + \frac{1}{\alpha}$は実数。

しかし、条件は$\alpha$が実数であることではなく、$|\alpha| = 1$であること。

$\bar{\alpha} + \frac{1}{\alpha} = \bar{\alpha} + \bar{\alpha} = 2 \bar{\alpha} = 2a - 2bi$. これが実数であるためには $b=0$である必要がある。

しかし、$|\alpha|=1$という条件より、$a^2+b^2=1$なので、b=0ならば$a = \pm 1$.

なので$\alpha$は実数である。

$\alpha + \bar{\alpha}$は常に実数であるため、$|\alpha|=1$ならば、$\bar{\alpha} = \frac{1}{\alpha}$なので、$\frac{1}{\alpha} + \alpha$も実数である。

問題12：

$|z + i| = |z + 3i|$より、$|z - (-i)| = |z - (-3i)|$なので、$z$は$-i$と$-3i$を結ぶ線分の垂直二等分線上にあります。

$z = x + yi$とおくと、$|(x) + (y+1)i| = |(x) + (y+3)i|$

したがって、$x^2 + (y+1)^2 = x^2 + (y+3)^2$

$(y+1)^2 = (y+3)^2$

$y^2 + 2y + 1 = y^2 + 6y + 9$

$4y = -8$

$y = -2$

したがって、$z = x - 2i$ (xは実数)。

$\bar{z} = x + 2i$

$z - \bar{z} = (x - 2i) - (x + 2i) = -4i$

3. 最終的な答え

問題11： $|\alpha| = 1$のとき、$\bar{\alpha} + \frac{1}{\alpha}$は実数である（証明終わり）。

問題12： $|z + i| = |z + 3i|$のとき、$z - \bar{z} = -4i$が成り立つ（証明終わり）。