関数 $y = x^2 - 2x - 4$ のグラフと $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 - 2x - 4$ のグラフと $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = x^2 - 2x - 4$ と $x$ 軸との交点を求めます。交点は、$y = 0$ となる $x$ の値なので、

$x^2 - 2x - 4 = 0$

を解きます。

解の公式を使うと、

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}$

となります。

したがって、$x$軸との交点は、$x = 1 - \sqrt{5}$ と $x = 1 + \sqrt{5}$ です。

求める面積は、定積分

$S = - \int_{1 - \sqrt{5}}^{1 + \sqrt{5}} (x^2 - 2x - 4) dx$

で計算できます（$x^2 - 2x - 4$ は $x$軸の下にあるため、マイナスをつけます）。

$S = - \left[ \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 4x \right]_{1 - \sqrt{5}}^{1 + \sqrt{5}}$

$S = -\left[ (\frac{1}{3}(1 + \sqrt{5})^3 - (1 + \sqrt{5})^2 - 4(1 + \sqrt{5})) - (\frac{1}{3}(1 - \sqrt{5})^3 - (1 - \sqrt{5})^2 - 4(1 - \sqrt{5})) \right]$

$(1+\sqrt{5})^2 = 1 + 2\sqrt{5} + 5 = 6 + 2\sqrt{5}$

$(1+\sqrt{5})^3 = (6 + 2\sqrt{5})(1 + \sqrt{5}) = 6 + 6\sqrt{5} + 2\sqrt{5} + 10 = 16 + 8\sqrt{5}$

$(1-\sqrt{5})^2 = 1 - 2\sqrt{5} + 5 = 6 - 2\sqrt{5}$

$(1-\sqrt{5})^3 = (6 - 2\sqrt{5})(1 - \sqrt{5}) = 6 - 6\sqrt{5} - 2\sqrt{5} + 10 = 16 - 8\sqrt{5}$

$S = -\left[ (\frac{1}{3}(16 + 8\sqrt{5}) - (6 + 2\sqrt{5}) - 4 - 4\sqrt{5}) - (\frac{1}{3}(16 - 8\sqrt{5}) - (6 - 2\sqrt{5}) - 4 + 4\sqrt{5}) \right]$

$S = - \left[ \frac{16}{3} + \frac{8}{3}\sqrt{5} - 6 - 2\sqrt{5} - 4 - 4\sqrt{5} - \frac{16}{3} + \frac{8}{3}\sqrt{5} + 6 - 2\sqrt{5} + 4 - 4\sqrt{5} \right]$

$S = - \left[ \frac{16}{3}\sqrt{5} - 8\sqrt{5} - \frac{24}{3}\sqrt{5} \right]$

$S = - \left[ \frac{16-24}{3}\sqrt{5} - \frac{24}{3}\sqrt{5} \right] = - \frac{-32}{3}\sqrt{5} = \frac{32\sqrt{5}}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{32\sqrt{5}}{3}$