与えられた４つの式を展開せよ。 (1) $(3x+y)^3$ (2) $(-m+2n)^3$ (3) $(4x+3y)(16x^2 - 12xy + 9y^2)$ (4) $(3a-b)(9a^2 + 3ab + b^2)$

1. 問題の内容

与えられた４つの式を展開せよ。

(1) $(3x+y)^3$

(2) $(-m+2n)^3$

(3) $(4x+3y)(16x^2 - 12xy + 9y^2)$

(4) $(3a-b)(9a^2 + 3ab + b^2)$

2. 解き方の手順

(1) $(3x+y)^3$の展開

二項定理または$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$の公式を利用する。

$a=3x$, $b=y$として代入する。

$(3x+y)^3 = (3x)^3 + 3(3x)^2y + 3(3x)y^2 + y^3 = 27x^3 + 27x^2y + 9xy^2 + y^3$

(2) $(-m+2n)^3$の展開

二項定理または$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$の公式を利用する。

$a=-m$, $b=2n$として代入する。

$(-m+2n)^3 = (-m)^3 + 3(-m)^2(2n) + 3(-m)(2n)^2 + (2n)^3 = -m^3 + 6m^2n - 12mn^2 + 8n^3$

(3) $(4x+3y)(16x^2 - 12xy + 9y^2)$の展開

これは、$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$の公式を利用する。

$a=4x$, $b=3y$とすると、

$(4x+3y)(16x^2 - 12xy + 9y^2) = (4x)^3 + (3y)^3 = 64x^3 + 27y^3$

(4) $(3a-b)(9a^2 + 3ab + b^2)$の展開

これは、$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$の公式を利用する。

$a=3a$, $b=b$とすると、

$(3a-b)(9a^2 + 3ab + b^2) = (3a)^3 - b^3 = 27a^3 - b^3$

3. 最終的な答え

(1) $27x^3 + 27x^2y + 9xy^2 + y^3$

(2) $-m^3 + 6m^2n - 12mn^2 + 8n^3$

(3) $64x^3 + 27y^3$

(4) $27a^3 - b^3$