画像にある数学の問題を解きます。具体的には、比例式、恒等式、相加平均と相乗平均の大小関係、二項定理に関する問題です。

1. 問題の内容

画像にある数学の問題を解きます。具体的には、比例式、恒等式、相加平均と相乗平均の大小関係、二項定理に関する問題です。

2. 解き方の手順

3. (1) $a:b = 2:3$ より、$a = 2k, b = 3k$ (kは0でない実数)とおける。

よって、$\frac{b^2 - a^2}{ab} = \frac{(3k)^2 - (2k)^2}{(2k)(3k)} = \frac{9k^2 - 4k^2}{6k^2} = \frac{5k^2}{6k^2} = \frac{5}{6}$

$\frac{b^2}{a} - \frac{a^2}{b} = 19$ のとき、$\frac{(3k)^2}{2k} - \frac{(2k)^2}{3k} = \frac{9k^2}{2k} - \frac{4k^2}{3k} = \frac{9}{2}k - \frac{4}{3}k = (\frac{27-8}{6})k = \frac{19}{6}k = 19$

よって、$k = 6$

ゆえに、$a = 2k = 2(6) = 12$

4. (2) $x + \frac{1}{x} = 3$ のとき、$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3(x)(\frac{1}{x})(x + \frac{1}{x}) = 3^3 - 3(1)(3) = 27 - 9 = 18$

$(x - \frac{1}{x})^2 = (x + \frac{1}{x})^2 - 4(x)(\frac{1}{x}) = 3^2 - 4 = 9 - 4 = 5$

よって、$x - \frac{1}{x} = \pm\sqrt{5}$

5. (1) $x^3 - x + 1 = a(x-1)^3 + b(x-1)^2 + c(x-1) + d$

$x = 1$ を代入すると、$1 - 1 + 1 = a(0) + b(0) + c(0) + d$ より、$d = 1$

$x^3 - x + 1 = a(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) + b(x^2 - 2x + 1) + c(x-1) + 1$

$x^3 - x + 1 = ax^3 + (-3a+b)x^2 + (3a-2b+c)x + (-a+b-c+1)$

係数を比較して、$a = 1$, $-3a+b = 0$ より $b = 3a = 3(1) = 3$, $3a-2b+c = -1$ より $3 - 2(3) + c = -1$ なので $3 - 6 + c = -1$, $-3 + c = -1$, $c = 2$

よって、$a = 1, b = 3, c = 2, d = 1$

6. (2) $\frac{3x+2}{x^2(x+1)} = \frac{a}{x^2} + \frac{b}{x} + \frac{c}{x+1}$

$3x+2 = a(x+1) + bx(x+1) + cx^2$

$3x+2 = a(x+1) + bx^2 + bx + cx^2$

$3x+2 = (b+c)x^2 + (a+b)x + a$

係数を比較して、$a = 2$, $a+b = 3$ より $2+b=3$ なので $b = 1$, $b+c=0$ より $1+c = 0$ なので $c = -1$

よって、$a = 2, b = 1, c = -1$

7. $4a + \frac{9}{a} \ge 2\sqrt{4a \cdot \frac{9}{a}} = 2\sqrt{36} = 2(6) = 12$

最小値は12。等号成立条件は、$4a = \frac{9}{a}$。つまり、$4a^2 = 9$ なので、$a^2 = \frac{9}{4}$、$a>0$より、$a = \frac{3}{2}$

8. $(a + \frac{1}{b})(b + \frac{9}{a}) = ab + 9 + 1 + \frac{9}{ab} = ab + \frac{9}{ab} + 10 \ge 2\sqrt{ab \cdot \frac{9}{ab}} + 10 = 2\sqrt{9} + 10 = 2(3) + 10 = 6+10=16$

最小値は16。等号成立条件は、$ab = \frac{9}{ab}$ なので、$a^2b^2 = 9$、$ab = 3$ $(a>0, b>0)$

9. (1) $(x+3y)^5$ の展開式における $x^3y^2$ の項は、${}_5C_2 x^3 (3y)^2 = 10x^3 (9y^2) = 90x^3y^2$

係数は90

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0. (2) $(x^2 - \frac{2}{x})^6$ の展開式における $x^3$ の項は、$(x^2)^a (-\frac{2}{x})^b$ で $2a-b = 3$ かつ $a+b=6$ を満たすもの。$a = 3, b=3$ なので ${}_6C_3 (x^2)^3 (-\frac{2}{x})^3 = 20(x^6) (\frac{-8}{x^3}) = -160x^3$ よって係数は -160。

定数項は、$(x^2)^a (-\frac{2}{x})^b$ で $2a-b = 0$ かつ $a+b = 6$ を満たすもの。$a=2, b=4$ なので ${}_6C_2 (x^2)^2 (-\frac{2}{x})^4 = 15(x^4)(\frac{16}{x^4}) = 240$

定数項は240。

1

1. 最終的な答え

(1)

サ：5/6

シ：12

(2)

ソタ：18

チ：5

(1)

ツ：1

テ：3

ト：2

ナ：1

(2)

ニ：2

ヌ：1

ネノ：-1

ハヒ：12

フ：3/2

ホマ：16

ミ：3

(1)

ムメ：90

(2)

モヤユヨ：-160

ラリル：240