問題文は、$k$ を実数の定数とし、$x$ を実数とする。二つの条件 $p: |x-2| < 1$ と $q: k-3 \leq x \leq k$ が与えられている。 問1は、条件 $p$ を満たす $x$ の値の範囲を求める問題。 問2は、命題 $p \implies q$ が真となるような $k$ の値の範囲を求める問題。

1. 問題の内容

問題文は、$k$ を実数の定数とし、$x$ を実数とする。二つの条件 $p: |x-2| < 1$ と $q: k-3 \leq x \leq k$ が与えられている。

問1は、条件 $p$ を満たす $x$ の値の範囲を求める問題。

問2は、命題 $p \implies q$ が真となるような $k$ の値の範囲を求める問題。

2. 解き方の手順

問1: 条件 $p$ を満たす $x$ の範囲を求める。

$|x-2| < 1$ は、$-1 < x-2 < 1$ と同値である。

各辺に2を加えると、$-1 + 2 < x - 2 + 2 < 1 + 2$ となり、$1 < x < 3$ が得られる。

問2: 命題 $p \implies q$ が真となる $k$ の範囲を求める。

$p \implies q$ が真となるためには、$p$ を満たす全ての $x$ が $q$ を満たしていなければならない。つまり、$p$ の範囲が $q$ の範囲に含まれる必要がある。

$p$ の範囲は $1 < x < 3$ であり、$q$ の範囲は $k-3 \leq x \leq k$ である。

したがって、$k-3 \leq x \leq k$ が $1 < x < 3$ を含む必要がある。

言い換えると、$1 < x < 3$ が $k-3 \leq x \leq k$ に含まれることが必要十分条件である。

この条件を満たすには、以下の2つの不等式が成り立つ必要がある。

$k - 3 \leq 1$

$k \geq 3$

$k - 3 \leq 1$ より $k \leq 4$

$k \geq 3$

よって、$3 \leq k \leq 4$

3. 最終的な答え

問1の答え: d

問2の答え: e