連立方程式 $\begin{cases} x + 2y = 3 \\ 2x + ay = 5 \end{cases}$ の解 $x, y$ を入れ替えたものが、連立方程式 $\begin{cases} 3x + 2y = 7 \\ bx + 3y = 8 \end{cases}$ の解になっているとき、$a, b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

連立方程式

$\begin{cases}

x + 2y = 3 \\

2x + ay = 5

\end{cases}$

の解 $x, y$ を入れ替えたものが、連立方程式

$\begin{cases}

3x + 2y = 7 \\

bx + 3y = 8

\end{cases}$

の解になっているとき、$a, b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、連立方程式

$\begin{cases}

3x + 2y = 7 \\

bx + 3y = 8

\end{cases}$

の解を求めます。この解を $(y, x)$ とします。そして、$(y, x)$ が

$\begin{cases}

x + 2y = 3 \\

2x + ay = 5

\end{cases}$

を満たすように $a, b$ を決定します。

ステップ1: 連立方程式 $\begin{cases}3x + 2y = 7 \\ bx + 3y = 8\end{cases}$ から $x$ と $y$ の関係を求めます。連立方程式を解く準備として、最初の連立方程式から、$x$と$y$の関係を求めることは難しいです。

まず、

$\begin{cases}x + 2y = 3 \\ 2x + ay = 5\end{cases}$

の解を求めることを考えます。

$x = 3 - 2y$ より、$2(3-2y) + ay = 5$ から $6 - 4y + ay = 5$ となり、

$y(a - 4) = -1$ となります。したがって、$y = \frac{-1}{a-4} = \frac{1}{4-a}$ となります。

また、$x = 3 - 2y = 3 - \frac{2}{4-a} = \frac{3(4-a) - 2}{4-a} = \frac{12 - 3a - 2}{4-a} = \frac{10 - 3a}{4-a}$ となります。

ステップ2:

$x, y$ を入れ替えたものが、

$\begin{cases}3x + 2y = 7 \\ bx + 3y = 8\end{cases}$

の解になることから、

$\begin{cases}3y + 2x = 7 \\ by + 3x = 8\end{cases}$

に$x = \frac{10 - 3a}{4-a}, y = \frac{1}{4-a}$ を代入すると、

$\begin{cases}3\frac{1}{4-a} + 2\frac{10 - 3a}{4-a} = 7 \\ b\frac{1}{4-a} + 3\frac{10 - 3a}{4-a} = 8\end{cases}$

となります。

すなわち、

$\begin{cases}3 + 2(10 - 3a) = 7(4-a) \\ b + 3(10 - 3a) = 8(4-a)\end{cases}$

$\begin{cases}3 + 20 - 6a = 28 - 7a \\ b + 30 - 9a = 32 - 8a\end{cases}$

$\begin{cases}23 - 6a = 28 - 7a \\ b + 30 - 9a = 32 - 8a\end{cases}$

$\begin{cases}a = 5 \\ b = 2 + a\end{cases}$

よって、$a = 5$, $b = 2 + 5 = 7$ となります。

3. 最終的な答え

$a = 5$

$b = 7$