直線 $y=2x+1$, $x=0$, $x=a$ および $x$軸で囲まれた部分の面積が20となるような定数$a$の値を求める。ただし、$a>0$とする。

1. 問題の内容

直線 $y=2x+1$, $x=0$, $x=a$ および $x$軸で囲まれた部分の面積が20となるような定数$a$の値を求める。ただし、$a>0$とする。

2. 解き方の手順

$y = 2x + 1$ は、$x=0$のとき$y=1$、$x=a$のとき$y=2a+1$となる直線です。この直線と$x=0$, $x=a$, $x$軸で囲まれた部分の面積は、$x=0$から$x=a$までの定積分で求めることができます。

$x$軸より上で積分範囲内で$y>0$なので、面積$S$は

$$S = \int_{0}^{a} (2x+1) \, dx$$

この定積分を計算すると

$$S = \left[ x^2 + x \right]_0^a = a^2 + a$$

問題文より、$S = 20$であるから、

$$a^2 + a = 20$$

$$a^2 + a - 20 = 0$$

この二次方程式を解くと

$$(a+5)(a-4) = 0$$

したがって、$a = -5, 4$ となります。

ただし、$a>0$という条件より、$a = 4$

3. 最終的な答え

$a = 4$