平行四辺形ABCDにおいて、辺AD、BCの中点をそれぞれM、Nとする。線分BMとANの交点をP、線分MCとNDの交点をQとする。このとき、四角形MPNQが平行四辺形になることを証明する。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、辺AD、BCの中点をそれぞれM、Nとする。線分BMとANの交点をP、線分MCとNDの交点をQとする。このとき、四角形MPNQが平行四辺形になることを証明する。

2. 解き方の手順

(1) 平行四辺形の性質より、AD平行BC, AD=BC。M, NはそれぞれAD, BCの中点なので、

$AM = MD = \frac{1}{2}AD$

$BN = NC = \frac{1}{2}BC$

よって、$AM = NC$かつ$AM$平行$NC$。したがって、四角形ANCMは平行四辺形である。

同様に、四角形MBNDも平行四辺形である。

(2) 平行四辺形ANCMにおいて、AN平行MCより、ANとMCの部分であるAPとMQも平行である。すなわち、$AP$平行$MQ$。

同様に、平行四辺形MBNDにおいて、BM平行NDより、BMとNDの部分であるBPとNQも平行である。すなわち、$BP$平行$NQ$。

(3) ここで、四角形APMQにおいて、$AP$平行$MQ$。また四角形BPNQにおいて、$BP$平行$NQ$。

四角形MPNQについて考える。

$AP$と$MQ$はそれぞれ$AN$と$MC$上にあるので、点Pは線分ANとBMの交点であり、点Qは線分MCとNDの交点である。

四角形ANCMが平行四辺形であることから、$AN$平行$MC$が成り立つ。よって、$AP$平行$MQ$が成り立つ。

四角形MBNDが平行四辺形であることから、$BM$平行$ND$が成り立つ。よって、$MP$平行$NQ$が成り立つ。

したがって、2組の対辺がそれぞれ平行であるため、四角形MPNQは平行四辺形である。

3. 最終的な答え

四角形MPNQは平行四辺形である。