1. (1) 方程式 $9^x + 9 = 10 \cdot 3^x$ を解く。

はい、承知しました。画像に写っている数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

1. (1) 方程式 $9^x + 9 = 10 \cdot 3^x$ を解く。

2. (2) 不等式 $(\frac{1}{9})^x - (\frac{1}{3})^x - 6 > 0$ を解く。

3. (3) 方程式 $(\log_2 x)^2 = \log_2 x^3 - 2$ を解く。

4. (4) 不等式 $(\log_2 x)^2 + \log_2 x^2 - 3 < 0$ を解く。

5. (1) 関数 $y = 2(\log_3 x)^2 + 4 \log_3 x$ （$\frac{1}{27} \leq x \leq 1$）の最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を求める。

6. (2) 関数 $y = \log_2 \frac{x^2}{4} \cdot \log_2 \frac{4}{x}$ （$2 \leq x \leq 8$）の最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

1. (1)

$9^x + 9 = 10 \cdot 3^x$ を解きます。

$3^x = t$ とおくと、$t > 0$ であり、方程式は

$t^2 - 10t + 9 = 0$

$(t-1)(t-9) = 0$

$t = 1, 9$

$3^x = 1$ より $x = 0$

$3^x = 9$ より $x = 2$

2. (2)

$(\frac{1}{9})^x - (\frac{1}{3})^x - 6 > 0$ を解きます。

$(\frac{1}{3})^x = t$ とおくと、$t > 0$ であり、不等式は

$t^2 - t - 6 > 0$

$(t-3)(t+2) > 0$

$t > 3, t < -2$

$t > 0$ より $t > 3$

$(\frac{1}{3})^x > 3$

$(\frac{1}{3})^x > (\frac{1}{3})^{-1}$

$x < -1$

3. (3)

$(\log_2 x)^2 = \log_2 x^3 - 2$ を解きます。

$(\log_2 x)^2 = 3 \log_2 x - 2$

$\log_2 x = t$ とおくと、

$t^2 - 3t + 2 = 0$

$(t-1)(t-2) = 0$

$t = 1, 2$

$\log_2 x = 1$ より $x = 2$

$\log_2 x = 2$ より $x = 4$

4. (4)

$(\log_2 x)^2 + \log_2 x^2 - 3 < 0$ を解きます。

$(\log_2 x)^2 + 2\log_2 x - 3 < 0$

$\log_2 x = t$ とおくと、

$t^2 + 2t - 3 < 0$

$(t+3)(t-1) < 0$

$-3 < t < 1$

$-3 < \log_2 x < 1$

$2^{-3} < x < 2^1$

$\frac{1}{8} < x < 2$

5. (1)

$y = 2(\log_3 x)^2 + 4 \log_3 x$ （$\frac{1}{27} \leq x \leq 1$）の最大値と最小値を求めます。

$\log_3 x = t$ とおくと、

$\frac{1}{27} \leq x \leq 1$ より $\log_3 \frac{1}{27} \leq t \leq \log_3 1$ なので $-3 \leq t \leq 0$

$y = 2t^2 + 4t = 2(t+1)^2 - 2$

$t = -1$ のとき最小値 $-2$ をとり、このとき $x = 3^{-1} = \frac{1}{3}$

$t = -3$ のとき最大値 $2(-3+1)^2 - 2 = 6$ をとり、このとき $x = 3^{-3} = \frac{1}{27}$

6. (2)

$y = \log_2 \frac{x^2}{4} \cdot \log_2 \frac{4}{x}$ （$2 \leq x \leq 8$）の最大値と最小値を求めます。

$y = (\log_2 x^2 - \log_2 4)(\log_2 4 - \log_2 x)$

$y = (2\log_2 x - 2)(2 - \log_2 x)$

$\log_2 x = t$ とおくと、$2 \leq x \leq 8$ より $1 \leq t \leq 3$

$y = (2t - 2)(2-t) = -2t^2 + 6t - 4 = -2(t - \frac{3}{2})^2 + \frac{1}{2}$

$t = \frac{3}{2}$ のとき最大値 $\frac{1}{2}$ をとり、このとき $x = 2^{\frac{3}{2}} = 2\sqrt{2}$

$t = 1$ のとき最小値 $-2(1 - \frac{3}{2})^2 + \frac{1}{2} = -2(\frac{1}{4}) + \frac{1}{2} = 0$ をとり、このとき $x = 2$

$t = 3$ のとき最小値 $-2(3 - \frac{3}{2})^2 + \frac{1}{2} = -2(\frac{9}{4}) + \frac{1}{2} = -4$ をとり、このとき $x = 8$

したがって、$x=2$のとき$y=0$であり、$x=8$のとき$y=-4$なので、最小値は$-4$。

3. 最終的な答え

1. (1) $x = 0, 2$

2. (2) $x < -1$

3. (3) $x = 2, 4$

4. (4) $\frac{1}{8} < x < 2$

5. (1) 最大値 $6$ ($x = \frac{1}{27}$)、最小値 $-2$ ($x = \frac{1}{3}$)

6. (2) 最大値 $\frac{1}{2}$ ($x = 2\sqrt{2}$)、最小値 $-4$ ($x = 8$)