2つの3次式を因数分解する問題です。 問題104: $x^3 + 2x^2 - 13x + 10$ を因数分解せよ。 問題105: $x^3 + 4x^2 - 15x - 18$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

2つの3次式を因数分解する問題です。

問題104: $x^3 + 2x^2 - 13x + 10$ を因数分解せよ。

問題105: $x^3 + 4x^2 - 15x - 18$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

どちらの問題も因数定理を利用して因数分解を行います。

問題104: $x^3 + 2x^2 - 13x + 10$

まず、$P(x) = x^3 + 2x^2 - 13x + 10$ とおきます。

$P(1) = 1 + 2 - 13 + 10 = 0$ なので、$x-1$ は $P(x)$ の因数です。

次に、$x^3 + 2x^2 - 13x + 10$ を $x-1$ で割ります。

筆算または組立除法を用いると、

$x^3 + 2x^2 - 13x + 10 = (x-1)(x^2 + 3x - 10)$

さらに、$x^2 + 3x - 10$ を因数分解します。

$x^2 + 3x - 10 = (x+5)(x-2)$

したがって、$x^3 + 2x^2 - 13x + 10 = (x-1)(x+5)(x-2)$

問題105: $x^3 + 4x^2 - 15x - 18$

まず、$Q(x) = x^3 + 4x^2 - 15x - 18$ とおきます。

$Q(-3) = (-3)^3 + 4(-3)^2 - 15(-3) - 18 = -27 + 36 + 45 - 18 = 36$

$Q(-1) = -1 + 4 + 15 - 18 = 0$ なので、$x+1$ は $Q(x)$ の因数です。

次に、$x^3 + 4x^2 - 15x - 18$ を $x+1$ で割ります。

筆算または組立除法を用いると、

$x^3 + 4x^2 - 15x - 18 = (x+1)(x^2 + 3x - 18)$

さらに、$x^2 + 3x - 18$ を因数分解します。

$x^2 + 3x - 18 = (x+6)(x-3)$

したがって、$x^3 + 4x^2 - 15x - 18 = (x+1)(x+6)(x-3)$

3. 最終的な答え

問題104: $(x-1)(x+5)(x-2)$

問題105: $(x+1)(x+6)(x-3)$