三角形OABにおいて、$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$、$\overrightarrow{OB} = \vec{b}$とする。点Oを通り、辺ABに平行な直線のベクトル方程式を、位置ベクトルの基準をO、直線上の動点Pの位置ベクトルを$\vec{p}$、媒介変数を$t$として求めよ。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$、$\overrightarrow{OB} = \vec{b}$とする。点Oを通り、辺ABに平行な直線のベクトル方程式を、位置ベクトルの基準をO、直線上の動点Pの位置ベクトルを$\vec{p}$、媒介変数を$t$として求めよ。

2. 解き方の手順

辺ABに平行な直線なので、まず$\overrightarrow{AB}$を計算する。

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \vec{b} - \vec{a}$

点Oを通り$\overrightarrow{AB}$に平行な直線上の点Pの位置ベクトル$\vec{p}$は、媒介変数$t$を用いて次のように表せる。

$\vec{p} = t\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{AB}$に$\vec{b} - \vec{a}$を代入すると、

$\vec{p} = t(\vec{b} - \vec{a})$

$\vec{p} = -t\vec{a} + t\vec{b}$

3. 最終的な答え

$\vec{p} = -t\vec{a} + t\vec{b}$