双曲線 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上の点 $P(p,q)$ における接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

双曲線 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上の点 $P(p,q)$ における接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、双曲線の式 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ を $x$ で微分します。陰関数の微分を使うと以下のようになります。

$\frac{d}{dx} \left( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} \right) = \frac{d}{dx}(1)$

$\frac{2x}{a^2} - \frac{2y}{b^2} \frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{dy}{dx} = \frac{b^2 x}{a^2 y}$

点 $P(p,q)$ における接線の傾き $m$ は、上の式の $x$ に $p$, $y$ に $q$ を代入することで得られます。

$m = \frac{b^2 p}{a^2 q}$

点 $P(p,q)$ を通り、傾きが $m$ の直線の方程式は次のようになります。

$y - q = m(x - p)$

上の式に $m = \frac{b^2 p}{a^2 q}$ を代入します。

$y - q = \frac{b^2 p}{a^2 q}(x - p)$

両辺に $a^2 q$ をかけます。

$a^2 q(y - q) = b^2 p(x - p)$

$a^2 qy - a^2 q^2 = b^2 px - b^2 p^2$

$b^2 p^2 - a^2 q^2 = b^2 px - a^2 qy$

ここで、$P(p,q)$ は双曲線上の点なので、$\frac{p^2}{a^2} - \frac{q^2}{b^2} = 1$ が成り立ちます。

この式を $a^2 b^2$ 倍すると、$b^2 p^2 - a^2 q^2 = a^2 b^2$ となります。

したがって、$a^2 b^2 = b^2 px - a^2 qy$

両辺を $a^2 b^2$ で割ると、

$1 = \frac{px}{a^2} - \frac{qy}{b^2}$

よって、接線の方程式は $\frac{px}{a^2} - \frac{qy}{b^2} = 1$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{px}{a^2} - \frac{qy}{b^2} = 1$