三角形ABCにおいて、$AB=5$, $BC=7$, $\angle A=120^\circ$のとき、$AC$の長さを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=5$, $BC=7$, $\angle A=120^\circ$のとき、$AC$の長さを求める。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて、$AC$の長さを求める。

余弦定理より、

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos A$

ここで、$BC = 7$, $AB = 5$, $\angle A = 120^\circ$であるから、

$7^2 = 5^2 + AC^2 - 2 \times 5 \times AC \times \cos 120^\circ$

$49 = 25 + AC^2 - 10 \times AC \times (-\frac{1}{2})$

$49 = 25 + AC^2 + 5AC$

$AC^2 + 5AC - 24 = 0$

二次方程式を解く。

$(AC + 8)(AC - 3) = 0$

$AC = -8, 3$

$AC > 0$ より、$AC = 3$

3. 最終的な答え

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