立方体ABCD-EFGHにおいて、$\angle EAG = \theta$ とするとき、$\sin \theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

立方体ABCD-EFGHにおいて、$\angle EAG = \theta$ とするとき、$\sin \theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、立方体の一辺の長さを $a$ とします。

次に、線分 $AE$ の長さを計算します。これは立方体の1辺なので、$AE = a$ です。

線分 $AG$ の長さを計算します。これは立方体の対角線なので、三平方の定理より、$AG = \sqrt{AB^2 + BC^2 + CG^2} = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$ です。

線分 $EG$ の長さを計算します。これは正方形EFGHの対角線なので、$EG = \sqrt{EF^2 + FG^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$ です。

$\triangle AEG$ について、余弦定理を用いると、

$EG^2 = AE^2 + AG^2 - 2 \cdot AE \cdot AG \cdot \cos \theta$

$(a\sqrt{2})^2 = a^2 + (a\sqrt{3})^2 - 2 \cdot a \cdot a\sqrt{3} \cdot \cos \theta$

$2a^2 = a^2 + 3a^2 - 2a^2\sqrt{3} \cos \theta$

$2a^2 = 4a^2 - 2a^2\sqrt{3} \cos \theta$

$2a^2\sqrt{3} \cos \theta = 2a^2$

$\cos \theta = \frac{2a^2}{2a^2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - (\frac{\sqrt{3}}{3})^2 = 1 - \frac{3}{9} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

$\sin \theta = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta = \frac{\sqrt{6}}{3}$