与えられた2つの2次不等式を解きます。 (1) $x^2 + 4x + 7 > 0$ (2) $x^2 - 3x + 3 > 0$

1. 問題の内容

与えられた2つの2次不等式を解きます。

(1) $x^2 + 4x + 7 > 0$

(2) $x^2 - 3x + 3 > 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + 4x + 7 > 0$

まず、左辺の2次式の判別式を計算します。

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(1)(7) = 16 - 28 = -12$

判別式 $D < 0$ なので、この2次式は実数解を持ちません。

また、$x^2$ の係数 $1 > 0$ であるため、すべての実数 $x$ に対して $x^2 + 4x + 7 > 0$ が成り立ちます。

なぜならば、$y = x^2 + 4x + 7$ のグラフは下に凸の放物線であり、$x$ 軸と交わらないため、常に $y > 0$ となるからです。

(2) $x^2 - 3x + 3 > 0$

同様に、左辺の2次式の判別式を計算します。

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(3) = 9 - 12 = -3$

判別式 $D < 0$ なので、この2次式は実数解を持ちません。

また、$x^2$ の係数 $1 > 0$ であるため、すべての実数 $x$ に対して $x^2 - 3x + 3 > 0$ が成り立ちます。

なぜならば、$y = x^2 - 3x + 3$ のグラフは下に凸の放物線であり、$x$ 軸と交わらないため、常に $y > 0$ となるからです。

3. 最終的な答え

(1) すべての実数

(2) すべての実数