2次方程式 $x^2 + 2mx + 2m + 3 = 0$ が与えられたとき、以下の条件を満たす定数 $m$ の値の範囲を求めます。 (1) 異なる2つの正の解を持つ (2) 異なる2つの負の解を持つ

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 2mx + 2m + 3 = 0$ が与えられたとき、以下の条件を満たす定数 $m$ の値の範囲を求めます。

(1) 異なる2つの正の解を持つ

(2) 異なる2つの負の解を持つ

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次方程式の判別式を $D$ とします。

$D = (2m)^2 - 4(2m+3) = 4m^2 - 8m - 12 = 4(m^2 - 2m - 3) = 4(m-3)(m+1)$

2次方程式が異なる2つの実数解を持つためには、$D > 0$ である必要があります。

$4(m-3)(m+1) > 0$ より、 $m < -1$ または $m > 3$

解を $\alpha, \beta$ とすると、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -2m$

$\alpha \beta = 2m + 3$

(1) 異なる2つの正の解を持つとき、

$\alpha > 0$ かつ $\beta > 0$ である必要があります。

したがって、

$\alpha + \beta > 0$ かつ $\alpha \beta > 0$ を満たす必要があります。

$-2m > 0$ より $m < 0$

$2m + 3 > 0$ より $m > -\frac{3}{2}$

したがって、 $-\frac{3}{2} < m < 0$

さらに $m < -1$ または $m > 3$ を満たす必要があるので、

$-\frac{3}{2} < m < -1$

(2) 異なる2つの負の解を持つとき、

$\alpha < 0$ かつ $\beta < 0$ である必要があります。

したがって、

$\alpha + \beta < 0$ かつ $\alpha \beta > 0$ を満たす必要があります。

$-2m < 0$ より $m > 0$

$2m + 3 > 0$ より $m > -\frac{3}{2}$

したがって、$m > 0$

さらに $m < -1$ または $m > 3$ を満たす必要があるので、$m > 3$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{3}{2} < m < -1$

(2) $m > 3$