与えられた不等式を解きます。具体的には、 (3) $5-2x+x^2 \ge 0$ (4) $2\sqrt{2x+1} \le -2x^2$ (5) $-3 > 2x^2 + 7x$ (6) $3x^2 - 4x \ge 2x^2 - 5x + 1$

1. 問題の内容

与えられた不等式を解きます。具体的には、

(3) $5-2x+x^2 \ge 0$

(4) $2\sqrt{2x+1} \le -2x^2$

(5) $-3 > 2x^2 + 7x$

(6) $3x^2 - 4x \ge 2x^2 - 5x + 1$

2. 解き方の手順

(3) $5-2x+x^2 \ge 0$

左辺を平方完成します。

$(x-1)^2 + 4 \ge 0$

$(x-1)^2$ は常に0以上なので、$(x-1)^2 + 4$ は常に4以上となります。よって、すべての実数 $x$ でこの不等式は成り立ちます。

(4) $2\sqrt{2x+1} \le -2x^2$

まず、根号の中身が0以上である必要があるので、$2x+1 \ge 0$、すなわち $x \ge -\frac{1}{2}$ です。

また、左辺は0以上であるのに対し、右辺は0以下なので、$2\sqrt{2x+1} = -2x^2 = 0$ となる場合のみ不等式が成り立ちます。

$2\sqrt{2x+1} = 0$ より $2x+1=0$ なので $x = -\frac{1}{2}$

$-2x^2 = 0$ より $x=0$

したがって $x=-\frac{1}{2}$を代入すると$2\sqrt{2(-\frac{1}{2})+1} = 0$であり、$-2(-\frac{1}{2})^2 = -\frac{1}{2}$なので、 $0 \le -\frac{1}{2}$とはならない。

$x=0$を代入すると $2\sqrt{1} \le 0$となり成り立たない。

この不等式を満たす実数 $x$ は存在しません。

(5) $-3 > 2x^2 + 7x$

$2x^2 + 7x + 3 < 0$

$(2x+1)(x+3) < 0$

$2x+1=0$ と $x+3=0$ を解くと、$x=-\frac{1}{2}$ と $x=-3$

したがって、$-3 < x < -\frac{1}{2}$

(6) $3x^2 - 4x \ge 2x^2 - 5x + 1$

$x^2 + x - 1 \ge 0$

$x^2 + x - 1 = 0$ を解の公式で解くと、

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$

したがって、$x \le \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$ または $x \ge \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

(3) すべての実数

(4) 解なし

(5) $-3 < x < -\frac{1}{2}$

(6) $x \le \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$ または $x \ge \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$