与えられた数式を計算します。具体的には、以下の3つの式を計算します。 (2) $(\alpha - \beta)^2$ (3) $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$ (4) $\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha}$

1. 問題の内容

与えられた数式を計算します。具体的には、以下の3つの式を計算します。

(2) $(\alpha - \beta)^2$

(3) $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$

(4) $\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha}$

2. 解き方の手順

(2) $(\alpha - \beta)^2$ の計算:

$(\alpha - \beta)^2$ を展開します。

$(\alpha - \beta)^2 = \alpha^2 - 2\alpha\beta + \beta^2$

$(α - \beta)^2 = α^2 + β^2 -2αβ$

(3) $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$ の計算:

通分して計算します。

$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\beta}{\alpha\beta} + \frac{\alpha}{\alpha\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta}$

(4) $\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha}$ の計算:

通分して計算します。

$\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = \frac{\alpha^2}{\alpha\beta} + \frac{\beta^2}{\alpha\beta} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta}$

$\alpha^2 + \beta^2$ を $(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$ で置き換えることもできます。

$\frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta} = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta}{\alpha\beta}$

3. 最終的な答え

(2) $(\alpha - \beta)^2 = \alpha^2 - 2\alpha\beta + \beta^2 = \alpha^2 + \beta^2 -2\alpha\beta$

(3) $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta}$

(4) $\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta} = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta}{\alpha\beta}$