2次方程式 $x^2 - ax + 2a^2 - 8 = 0$ が $x = 3$ を解に持つときの定数 $a$ の値を求め、そのときの他の解を求める問題です。ただし、$a$ の値は2つ存在し、小さい方をア、大きい方をイとします。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - ax + 2a^2 - 8 = 0$ が $x = 3$ を解に持つときの定数 $a$ の値を求め、そのときの他の解を求める問題です。ただし、$a$ の値は2つ存在し、小さい方をア、大きい方をイとします。

2. 解き方の手順

まず、$x = 3$ が解であることから、方程式に $x = 3$ を代入します。

$3^2 - a(3) + 2a^2 - 8 = 0$

$9 - 3a + 2a^2 - 8 = 0$

$2a^2 - 3a + 1 = 0$

この $a$ に関する2次方程式を解きます。因数分解を用いると

$(2a - 1)(a - 1) = 0$

よって、$a = \frac{1}{2}$ または $a = 1$

ここで、ア < イであることから、ア = $\frac{1}{2}$、イ = $1$ となります。

(2) $a = \frac{1}{2}$ のとき、元の2次方程式は

$x^2 - \frac{1}{2}x + 2(\frac{1}{2})^2 - 8 = 0$

$x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} - 8 = 0$

$x^2 - \frac{1}{2}x - \frac{15}{2} = 0$

$2x^2 - x - 15 = 0$

$(2x + 5)(x - 3) = 0$

解は $x = 3$ と $x = -\frac{5}{2}$ となります。したがって、$a = \frac{1}{2}$ のときの他の解は $x = -\frac{5}{2}$ です。

$a = 1$ のとき、元の2次方程式は

$x^2 - x + 2(1)^2 - 8 = 0$

$x^2 - x + 2 - 8 = 0$

$x^2 - x - 6 = 0$

$(x - 3)(x + 2) = 0$

解は $x = 3$ と $x = -2$ となります。したがって、$a = 1$ のときの他の解は $x = -2$ です。

3. 最終的な答え

ア: $\frac{1}{2}$

イ: $1$

ウ: $-\frac{5}{2}$

エ: $-2$