$k$を定数とする。2つの2次方程式 $x^2 - kx + k^2 - 3k = 0$ ...(1) $(k+8)x^2 - 6x + k = 0$ ...(2) について、次の条件を満たす$k$の値の範囲をそれぞれ求める。 (1) (1)と(2)のうち、少なくとも一方が虚数解を持つ。 (2) (1)と(2)のうち、一方だけが虚数解を持つ。

1. 問題の内容

$k$を定数とする。2つの2次方程式

$x^2 - kx + k^2 - 3k = 0$ ...(1)

$(k+8)x^2 - 6x + k = 0$ ...(2)

について、次の条件を満たす$k$の値の範囲をそれぞれ求める。

(1) (1)と(2)のうち、少なくとも一方が虚数解を持つ。

(2) (1)と(2)のうち、一方だけが虚数解を持つ。

2. 解き方の手順

(1)式について、判別式を$D_1$とすると、

$D_1 = (-k)^2 - 4(k^2 - 3k) = k^2 - 4k^2 + 12k = -3k^2 + 12k = -3k(k - 4)$

(2)式について、判別式を$D_2$とすると、

$D_2/4 = (-3)^2 - (k+8)k = 9 - k^2 - 8k = -(k^2 + 8k - 9) = -(k+9)(k-1)$

(1) まず、(2)式が2次方程式であるためには、$k+8 \neq 0$、つまり、$k \neq -8$である必要がある。

(1) (1)と(2)のうち、少なくとも一方が虚数解を持つ条件を考える。

これは、(1)が実数解を持たず、かつ(2)が実数解を持たない場合を除いた場合である。

(1)が実数解を持つとき、$D_1 \geq 0$、つまり$-3k(k - 4) \geq 0$より、$0 \leq k \leq 4$

(2)が実数解を持つとき、$D_2 \geq 0$、つまり$-(k+9)(k-1) \geq 0$より、$-9 \leq k \leq 1$

両方とも実数解を持つのは、$0 \leq k \leq 1$のとき。

したがって、少なくとも一方が虚数解を持つ条件は、$k < -9$または$k > 4$または、$1 < k < 4$ または $-9 < k < 0$。

したがって、$k<-9$、$k>4$、$-9<k<0$, $1<k<4$. これらを合わせると$k<-9$, $-9<k<0$, $k>4$, $1<k<4$。

つまり、$k < 0$、$k > 1$ かつ $k \neq -8$と$k>4$なので、$k<-9$、$−9<k<0$、$1<k<4$、$k>4$。

$k<-9$、$-9<k<0$,$k>1$かつ$k \neq 4$

(2) 一方だけが虚数解を持つ条件を考える。

(ア) (1)が虚数解を持ち、(2)が実数解を持つ場合。

$D_1 < 0$かつ$D_2 \geq 0$より、$k < 0$または$k > 4$かつ$-9 \leq k \leq 1$。

したがって、$-9 \leq k < 0$。

(イ) (1)が実数解を持ち、(2)が虚数解を持つ場合。

$D_1 \geq 0$かつ$D_2 < 0$より、$0 \leq k \leq 4$かつ($k < -9$または$k > 1$)。

したがって、$1 < k \leq 4$。

以上より、一方だけが虚数解を持つのは、$-9 \leq k < 0$または$1 < k \leq 4$。

3. 最終的な答え

(1) $k<-9$, $-9<k<0$, $1<k<4$, $k>4$

(2) $-9 \leq k < 0$または$1 < k \leq 4$