(1) 2次関数 $y = x^2 + mx - 2m + 5$ のグラフが以下の条件のとき、定数 $m$ の値の範囲を求める。 ① $x$ 軸の正の部分と異なる2点で交わる。 ② $x$ 軸の負の部分と異なる2点で交わる。 (2) 2次方程式 $x^2 + mx + 2 = 0$ が以下の条件を満たすとき、定数 $m$ の値の範囲を求める。 ① 異なる2つの正の解をもつ。 ② 異なる2つの負の解をもつ。

1. 問題の内容

(1) 2次関数 $y = x^2 + mx - 2m + 5$ のグラフが以下の条件のとき、定数 $m$ の値の範囲を求める。

① $x$ 軸の正の部分と異なる2点で交わる。

② $x$ 軸の負の部分と異なる2点で交わる。

(2) 2次方程式 $x^2 + mx + 2 = 0$ が以下の条件を満たすとき、定数 $m$ の値の範囲を求める。

① 異なる2つの正の解をもつ。

② 異なる2つの負の解をもつ。

2. 解き方の手順

(1) ① $y = x^2 + mx - 2m + 5$ のグラフが $x$ 軸の正の部分と異なる2点で交わる条件は以下の通り。

- 判別式 $D > 0$

- 軸 $> 0$

- $f(0) > 0$

$D = m^2 - 4(-2m + 5) = m^2 + 8m - 20 > 0$

$(m+10)(m-2) > 0$

$m < -10$ または $m > 2$ (1)

軸: $x = -\frac{m}{2} > 0$

$m < 0$ (2)

$f(0) = -2m + 5 > 0$

$m < \frac{5}{2}$ (3)

(1), (2), (3) より、$m < -10$

② $y = x^2 + mx - 2m + 5$ のグラフが $x$ 軸の負の部分と異なる2点で交わる条件は以下の通り。

- 判別式 $D > 0$

- 軸 $< 0$

- $f(0) > 0$

$D = m^2 - 4(-2m + 5) = m^2 + 8m - 20 > 0$

$(m+10)(m-2) > 0$

$m < -10$ または $m > 2$ (1)

軸: $x = -\frac{m}{2} < 0$

$m > 0$ (2)

$f(0) = -2m + 5 > 0$

$m < \frac{5}{2}$ (3)

(1), (2), (3) より、$2 < m < \frac{5}{2}$

(2) ① $x^2 + mx + 2 = 0$ が異なる2つの正の解をもつ条件は以下の通り。

- 判別式 $D > 0$

- 解の和 $> 0$

- 解の積 $> 0$

$D = m^2 - 4(1)(2) = m^2 - 8 > 0$

$m^2 > 8$

$m < -2\sqrt{2}$ または $m > 2\sqrt{2}$ (1)

解の和: $-m > 0$

$m < 0$ (2)

解の積: $2 > 0$ (常に成立) (3)

(1), (2), (3) より、$m < -2\sqrt{2}$

② $x^2 + mx + 2 = 0$ が異なる2つの負の解をもつ条件は以下の通り。

- 判別式 $D > 0$

- 解の和 $< 0$

- 解の積 $> 0$

$D = m^2 - 4(1)(2) = m^2 - 8 > 0$

$m^2 > 8$

$m < -2\sqrt{2}$ または $m > 2\sqrt{2}$ (1)

解の和: $-m < 0$

$m > 0$ (2)

解の積: $2 > 0$ (常に成立) (3)

(1), (2), (3) より、$m > 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) ① $m < -10$

② $2 < m < \frac{5}{2}$

(2) ① $m < -2\sqrt{2}$

② $m > 2\sqrt{2}$