与えられた方程式 $x^4 + ax^2 + b = 0$ が $2-i$ を解に持つとき、実数の定数 $a, b$ の値と他の解を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた方程式 $x^4 + ax^2 + b = 0$ が $2-i$ を解に持つとき、実数の定数 $a, b$ の値と他の解を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x^4+ax^2+b=0$は実数係数のため、$2-i$が解ならば共役複素数である$2+i$も解である。

したがって、$(x-(2-i))(x-(2+i))$は$x^4+ax^2+b$を割り切る。

$(x-(2-i))(x-(2+i)) = ((x-2)+i)((x-2)-i) = (x-2)^2 - i^2 = x^2 - 4x + 4 + 1 = x^2 - 4x + 5$

ここで、$x^4 + ax^2 + b$ は $x^2$ の項しかないので、$x^2 - 4x + 5$ と $x^2 + 4x + 5$ の積を考える。

$(x^2 - 4x + 5)(x^2 + 4x + 5) = (x^2 + 5 - 4x)(x^2 + 5 + 4x) = (x^2 + 5)^2 - (4x)^2 = x^4 + 10x^2 + 25 - 16x^2 = x^4 - 6x^2 + 25$

よって、$x^4 - 6x^2 + 25 = 0$ となり、$a = -6, b = 25$ である。

このとき、方程式は $(x^2 - 4x + 5)(x^2 + 4x + 5) = 0$ となり、$x^2 - 4x + 5 = 0$ の解は $2-i, 2+i$ であり、$x^2 + 4x + 5 = 0$ の解は $x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{-4 \pm 2i}{2} = -2 \pm i$ となる。

したがって、他の解は $2+i, -2+i, -2-i$ である。

3. 最終的な答え

$a = -6, b = 25$

他の解は $2+i, -2+i, -2-i$