定数 $k$ に対して、二つの二次方程式 $x^2 - kx + k^2 - 3k = 0$ ...(1) $(k+8)x^2 - 6x + k = 0$ ...(2) が与えられている。(1)と(2)のうち、少なくとも一方が虚数解をもつときの $k$ の値の範囲と、一方だけが虚数解をもつときの $k$ の値の範囲をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

定数 $k$ に対して、二つの二次方程式

$x^2 - kx + k^2 - 3k = 0$ ...(1)

$(k+8)x^2 - 6x + k = 0$ ...(2)

が与えられている。(1)と(2)のうち、少なくとも一方が虚数解をもつときの $k$ の値の範囲と、一方だけが虚数解をもつときの $k$ の値の範囲をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 二次方程式が虚数解を持つ条件は、判別式が負であることです。

方程式(1)の判別式を $D_1$、方程式(2)の判別式を $D_2$ とします。

まず、方程式(1)の判別式 $D_1$ を計算します。

$D_1 = (-k)^2 - 4(1)(k^2 - 3k) = k^2 - 4k^2 + 12k = -3k^2 + 12k = -3k(k-4)$

$D_1 < 0$ となるのは、$-3k(k-4) < 0$ より、$k(k-4) > 0$。したがって、$k<0$ または $k>4$

次に、方程式(2)の判別式 $D_2$ を計算します。ただし、$k+8=0$ つまり $k=-8$ のとき、方程式 (2) は一次方程式 $-6x-8=0$ となり、実数解を持ちます。$k \neq -8$ のとき、

$D_2/4 = (-3)^2 - (k+8)(k) = 9 - (k^2 + 8k) = 9 - k^2 - 8k = -(k^2 + 8k - 9) = -(k+9)(k-1)$

$D_2 < 0$ となるのは、$-(k+9)(k-1) < 0$ より、$(k+9)(k-1) > 0$。したがって、$k<-9$ または $k>1$

(2) (1)と(2)のうち、少なくとも一方が虚数解を持つのは、$D_1 < 0$ または $D_2 < 0$ の場合です。つまり、$k<-9$ または $k>4$ または $1 < k < 0$。

整理すると、$k < -9$ または $k>1$ であり、$k<0$または$k>4$。

また、$k \neq -8$ であることを考慮すると、$k<-9$, $-9<k<-8$, $-8<k<0$, $k>4$

(3) (1)と(2)のうち、一方だけが虚数解を持つのは、以下の二つの場合です。

(a) $D_1 < 0$ かつ $D_2 \ge 0$ の場合

(b) $D_1 \ge 0$ かつ $D_2 < 0$ の場合

(a) $D_1 < 0$ より、$k < 0$ または $k > 4$

$D_2 \ge 0$ より、$-9 \le k \le 1$

この二つを満たすのは、$-9 \le k < 0$ または $4 < k \le 1$。$4 < k \le 1$を満たす$k$は存在しない。

$k = -8$ を除外すると、$-9 \le k < -8$ または $-8 < k < 0$

(b) $D_1 \ge 0$ より、$0 \le k \le 4$

$D_2 < 0$ より、$k < -9$ または $k > 1$

この二つを満たすのは、$1 < k \le 4$

したがって、一方だけが虚数解を持つのは、$-9 \le k < -8$ または $-8 < k < 0$ または $1 < k \le 4$

3. 最終的な答え

(1) 少なくとも一方が虚数解を持つ：$k < -9$, $-9 < k < -8$, $-8 < k < 0$, $k > 4$

(2) 一方だけが虚数解を持つ：$-9 \le k < -8$, $-8 < k < 0$, $1 < k \le 4$