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与えられた条件 $F'(x) = 9x^2 - 4x + 5$ と $F(1) = 9$ を満たす関数 $F(x)$ を求める問題です。

解析学積分不定積分微分関数
2025/4/7

1. 問題の内容

与えられた条件 F′(x)=9x2−4x+5F'(x) = 9x^2 - 4x + 5 と F(1)=9F(1) = 9 を満たす関数 F(x)F(x) を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、F′(x)F'(x) を積分して F(x)F(x) を求めます。
F′(x)=9x2−4x+5F'(x) = 9x^2 - 4x + 5 を積分すると、
F(x)=∫(9x2−4x+5)dx=3x3−2x2+5x+CF(x) = \int (9x^2 - 4x + 5) dx = 3x^3 - 2x^2 + 5x + C
ここで、CC は積分定数です。
次に、F(1)=9F(1) = 9 の条件を用いて積分定数 CC を求めます。
F(1)=3(1)3−2(1)2+5(1)+C=3−2+5+C=6+C=9F(1) = 3(1)^3 - 2(1)^2 + 5(1) + C = 3 - 2 + 5 + C = 6 + C = 9
したがって、C=9−6=3C = 9 - 6 = 3 となります。
よって、F(x)=3x3−2x2+5x+3F(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x + 3 です。

3. 最終的な答え

F(x)=3x3−2x2+5x+3F(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x + 3

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