次の定積分を求めなさい。 $\int_{1}^{4} (6x^2 - 7) dx + \int_{4}^{4} (6x^2 - 7) dx$

1. 問題の内容

次の定積分を求めなさい。

$\int_{1}^{4} (6x^2 - 7) dx + \int_{4}^{4} (6x^2 - 7) dx$

2. 解き方の手順

まず、定積分の性質を利用して、$\int_{a}^{a} f(x) dx = 0$ であることから、第二項は0になります。

$\int_{4}^{4} (6x^2 - 7) dx = 0$

次に、第一項の定積分を計算します。

$\int_{1}^{4} (6x^2 - 7) dx$

不定積分を求めます。

$\int (6x^2 - 7) dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} - 7x + C = 2x^3 - 7x + C$

定積分を計算します。

$\int_{1}^{4} (6x^2 - 7) dx = [2x^3 - 7x]_{1}^{4} = (2(4)^3 - 7(4)) - (2(1)^3 - 7(1)) = (2(64) - 28) - (2 - 7) = (128 - 28) - (-5) = 100 + 5 = 105$

したがって、

$\int_{1}^{4} (6x^2 - 7) dx + \int_{4}^{4} (6x^2 - 7) dx = 105 + 0 = 105$

3. 最終的な答え

105