次の定積分を計算する問題です。 $\int_{-2}^{1} (12x^2 - 4x - 3) dx - \int_{3}^{1} (12x^2 - 4x - 3) dx$

1. 問題の内容

次の定積分を計算する問題です。

$\int_{-2}^{1} (12x^2 - 4x - 3) dx - \int_{3}^{1} (12x^2 - 4x - 3) dx$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの定積分を計算します。

$f(x) = 12x^2 - 4x - 3$とすると、不定積分$F(x)$は以下のようになります。

$F(x) = \int f(x) dx = \int (12x^2 - 4x - 3) dx = 4x^3 - 2x^2 - 3x + C$

ここで、$C$は積分定数です。

次に、それぞれの定積分を計算します。

$\int_{-2}^{1} (12x^2 - 4x - 3) dx = F(1) - F(-2)$

$F(1) = 4(1)^3 - 2(1)^2 - 3(1) = 4 - 2 - 3 = -1$

$F(-2) = 4(-2)^3 - 2(-2)^2 - 3(-2) = 4(-8) - 2(4) + 6 = -32 - 8 + 6 = -34$

したがって、$\int_{-2}^{1} (12x^2 - 4x - 3) dx = -1 - (-34) = 33$

次に、$\int_{3}^{1} (12x^2 - 4x - 3) dx = F(1) - F(3)$を計算します。

$F(1) = -1$ (すでに計算済み)

$F(3) = 4(3)^3 - 2(3)^2 - 3(3) = 4(27) - 2(9) - 9 = 108 - 18 - 9 = 81$

したがって、$\int_{3}^{1} (12x^2 - 4x - 3) dx = -1 - 81 = -82$

最後に、与えられた式を計算します。

$\int_{-2}^{1} (12x^2 - 4x - 3) dx - \int_{3}^{1} (12x^2 - 4x - 3) dx = 33 - (-82) = 33 + 82 = 115$

3. 最終的な答え

115