与えられた定積分の計算を行います。 $\int_{-1}^{2} (12x^2 + 7) dx + \int_{5}^{2} (12x^2 + 7) dx - \int_{3}^{2} (12x^2 + 7) dx - \int_{5}^{3} (12x^2 + 7) dx$

1. 問題の内容

与えられた定積分の計算を行います。

$\int_{-1}^{2} (12x^2 + 7) dx + \int_{5}^{2} (12x^2 + 7) dx - \int_{3}^{2} (12x^2 + 7) dx - \int_{5}^{3} (12x^2 + 7) dx$

2. 解き方の手順

まず、定積分の性質を利用して、積分範囲を調整します。

$\int_{5}^{2} (12x^2 + 7) dx = -\int_{2}^{5} (12x^2 + 7) dx$

$\int_{3}^{2} (12x^2 + 7) dx = -\int_{2}^{3} (12x^2 + 7) dx$

与えられた式は、

$\int_{-1}^{2} (12x^2 + 7) dx - \int_{2}^{5} (12x^2 + 7) dx + \int_{2}^{3} (12x^2 + 7) dx - \int_{5}^{3} (12x^2 + 7) dx$

さらに、$\int_{5}^{3} (12x^2 + 7) dx = - \int_{3}^{5} (12x^2 + 7) dx$ であるから、

$\int_{-1}^{2} (12x^2 + 7) dx - \int_{2}^{5} (12x^2 + 7) dx + \int_{2}^{3} (12x^2 + 7) dx + \int_{3}^{5} (12x^2 + 7) dx$

積分をまとめると、

$\int_{-1}^{2} (12x^2 + 7) dx - \int_{2}^{5} (12x^2 + 7) dx + \int_{2}^{5} (12x^2 + 7) dx = \int_{-1}^{2} (12x^2 + 7) dx$

そして

$\int (12x^2 + 7) dx = 12 \int x^2 dx + 7 \int dx = 12 \cdot \frac{x^3}{3} + 7x + C = 4x^3 + 7x + C$

したがって、

$\int_{-1}^{2} (12x^2 + 7) dx = [4x^3 + 7x]_{-1}^{2} = (4(2^3) + 7(2)) - (4(-1)^3 + 7(-1)) = (32 + 14) - (-4 - 7) = 46 - (-11) = 46 + 11 = 57$

3. 最終的な答え

57