与えられた定積分 $\int_{1}^{3} (3x^2 - 4x + 5) \, dx + \int_{1}^{1} (3x^2 - 4x + 5) \, dx$ を計算する問題です。

解析学定積分積分
2025/4/7

1. 問題の内容

与えられた定積分 13(3x24x+5)dx+11(3x24x+5)dx\int_{1}^{3} (3x^2 - 4x + 5) \, dx + \int_{1}^{1} (3x^2 - 4x + 5) \, dx を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、定積分の性質を利用します。
abf(x)dx+bcf(x)dx=acf(x)dx\int_{a}^{b} f(x) \, dx + \int_{b}^{c} f(x) \, dx = \int_{a}^{c} f(x) \, dx
11(3x24x+5)dx=0\int_{1}^{1} (3x^2 - 4x + 5) \, dx = 0 (積分区間が同じなので)
したがって、
13(3x24x+5)dx+11(3x24x+5)dx=13(3x24x+5)dx+0=13(3x24x+5)dx\int_{1}^{3} (3x^2 - 4x + 5) \, dx + \int_{1}^{1} (3x^2 - 4x + 5) \, dx = \int_{1}^{3} (3x^2 - 4x + 5) \, dx + 0 = \int_{1}^{3} (3x^2 - 4x + 5) \, dx
次に、不定積分を求めます。
(3x24x+5)dx=x32x2+5x+C\int (3x^2 - 4x + 5) \, dx = x^3 - 2x^2 + 5x + C
次に、定積分を計算します。
13(3x24x+5)dx=[x32x2+5x]13\int_{1}^{3} (3x^2 - 4x + 5) \, dx = [x^3 - 2x^2 + 5x]_{1}^{3}
=(332(32)+5(3))(132(12)+5(1))= (3^3 - 2(3^2) + 5(3)) - (1^3 - 2(1^2) + 5(1))
=(2718+15)(12+5)= (27 - 18 + 15) - (1 - 2 + 5)
=(24)(4)= (24) - (4)
=20= 20

3. 最終的な答え

20

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