三角形ABCにおいて、$a = \sqrt{3}$, $b = 2$, $c = \sqrt{13}$のとき、角Cの大きさを求めます。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a = \sqrt{3}$, $b = 2$, $c = \sqrt{13}$のとき、角Cの大きさを求めます。

2. 解き方の手順

余弦定理を使って角Cを求めます。余弦定理は以下の通りです。

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos{C}$

この式を$\cos{C}$について解きます。

$2ab\cos{C} = a^2 + b^2 - c^2$

$\cos{C} = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

与えられた値を代入します。

$\cos{C} = \frac{(\sqrt{3})^2 + 2^2 - (\sqrt{13})^2}{2 \cdot \sqrt{3} \cdot 2}$

$\cos{C} = \frac{3 + 4 - 13}{4\sqrt{3}}$

$\cos{C} = \frac{-6}{4\sqrt{3}}$

$\cos{C} = \frac{-3}{2\sqrt{3}}$

$\cos{C} = \frac{-3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\sqrt{3}}$

$\cos{C} = \frac{-3\sqrt{3}}{6}$

$\cos{C} = \frac{-\sqrt{3}}{2}$

$\cos{C} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos{C}$の値から$C$を求めます。$\cos{\theta} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$となる角度$\theta$は、$150^\circ$です。

よって、$C = 150^\circ$

3. 最終的な答え

150°