2次関数 $y = -2(x-1)^2 + 4$ の $-3 \le x \le 0$ における最大値と最小値を求めよ。値が存在しない場合は「なし」と解答欄に入れよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -2(x-1)^2 + 4$ の $-3 \le x \le 0$ における最大値と最小値を求めよ。値が存在しない場合は「なし」と解答欄に入れよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数の頂点の座標を求める。

$y = -2(x-1)^2 + 4$ より、頂点の座標は $(1, 4)$ である。

この関数は $x=1$ で最大値4をとり、上に凸な放物線である。

次に、定義域 $-3 \le x \le 0$ における関数の値を考える。

$x = -3$ のとき、$y = -2(-3-1)^2 + 4 = -2(-4)^2 + 4 = -2(16) + 4 = -32 + 4 = -28$

$x = 0$ のとき、$y = -2(0-1)^2 + 4 = -2(-1)^2 + 4 = -2(1) + 4 = -2 + 4 = 2$

定義域 $-3 \le x \le 0$ において、放物線の軸 $x=1$ は定義域に含まれない。したがって、最大値は定義域の端点における値か、軸に最も近い端点における値のどちらかになる。

この定義域において、x=0の時が軸に近く、x=-3の時が軸から遠い。

$x = 0$ のとき $y = 2$

$x = -3$ のとき $y = -28$

したがって、最大値は $2$ ($x=0$ のとき)、最小値は $-28$ ($x=-3$ のとき) である。

3. 最終的な答え

最大値: 2 (x = 0 のとき) 最小値: -28 (x = -3 のとき)