関数 $y = -x^2 + 4x + 1$ の $-3 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求めます。値が存在しない場合は「なし」と答えます。

1. 問題の内容

関数 $y = -x^2 + 4x + 1$ の $-3 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求めます。値が存在しない場合は「なし」と答えます。

2. 解き方の手順

まず、関数を平方完成します。

$y = -x^2 + 4x + 1 = -(x^2 - 4x) + 1 = -(x^2 - 4x + 4 - 4) + 1 = -(x - 2)^2 + 4 + 1 = -(x - 2)^2 + 5$

この関数は上に凸な放物線で、頂点の座標は $(2, 5)$ です。

定義域 $-3 \le x \le 3$ を考慮します。

頂点の $x$ 座標 $x = 2$ は $-3 \le x \le 3$ の範囲に含まれています。

$x = 2$ のとき、$y = 5$ なので、最大値は $5$ です。

次に、定義域の端での値を計算します。

$x = -3$ のとき、$y = -(-3)^2 + 4(-3) + 1 = -9 - 12 + 1 = -20$

$x = 3$ のとき、$y = -(3)^2 + 4(3) + 1 = -9 + 12 + 1 = 4$

したがって、最小値は $-20$ です。

3. 最終的な答え

最大値：$5$ ($x = 2$ のとき)

最小値：$-20$ ($x = -3$ のとき)