与えられた2次関数 $y = -x^2 - 4x - 3$ の、定義域 $-1 \le x \le 1$ における最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $y = -x^2 - 4x - 3$ の、定義域 $-1 \le x \le 1$ における最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -x^2 - 4x - 3$

$y = -(x^2 + 4x) - 3$

$y = -(x^2 + 4x + 4 - 4) - 3$

$y = -(x + 2)^2 + 4 - 3$

$y = -(x + 2)^2 + 1$

この式から、この2次関数の頂点の座標が $(-2, 1)$ であることがわかります。

次に、定義域 $-1 \le x \le 1$ の範囲で、この2次関数が最大値と最小値をどこでとるかを考えます。

頂点の$x$座標は $-2$ であり、定義域に含まれていません。したがって、定義域の端点で最大値または最小値をとる可能性があります。

定義域の左端 $x = -1$ のとき：

$y = -(-1)^2 - 4(-1) - 3$

$y = -1 + 4 - 3$

$y = 0$

定義域の右端 $x = 1$ のとき：

$y = -(1)^2 - 4(1) - 3$

$y = -1 - 4 - 3$

$y = -8$

頂点の$y$座標は1ですが、頂点は定義域外にあるので、範囲内で $x=-1$ の時にとる値 $0$ が最大値になります。

また、範囲内で $x=1$ の時にとる値 $-8$ が最小値になります。

3. 最終的な答え

最大値：0 (x = -1のとき)

最小値：-8 (x = 1のとき)