6人の生徒を2人ずつ3つのグループに分ける方法は何通りあるか。

1. 問題の内容

6人の生徒を2人ずつ3つのグループに分ける方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

まず、6人から2人を選ぶ組み合わせを計算します。これは $_6C_2$ で表されます。

次に、残った4人から2人を選ぶ組み合わせを計算します。これは $_4C_2$ で表されます。

最後に、残った2人は自動的に最後のグループになります。これは $_2C_2=1$ で表されます。

したがって、組み合わせの総数は $_6C_2 \times _4C_2 \times _2C_2$ で計算できます。

しかし、この計算では、3つのグループの順序を考慮しています。グループA、グループB、グループCと分ける場合と、グループB、グループA、グループCと分ける場合を別々に数えていることになります。グループ分けにおいて、グループの順序は区別しないので、3つのグループの順列である $3!$ で割る必要があります。

計算を実行します。

$_6C_2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

$_4C_2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

$_2C_2 = \frac{2!}{2!(2-2)!} = \frac{2!}{2!0!} = 1$

したがって、組み合わせの総数は $15 \times 6 \times 1 = 90$ です。

グループの順序を考慮しないようにするために、$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ で割ります。

$\frac{90}{6} = 15$

3. 最終的な答え

15通り