関数 $y = 2x^2 - 4x + 3$ について、$0 < x < 3$ の範囲における最大値と最小値を求める問題です。もし最大値または最小値が存在しない場合は、「なし」と答えます。

1. 問題の内容

関数 $y = 2x^2 - 4x + 3$ について、$0 < x < 3$ の範囲における最大値と最小値を求める問題です。もし最大値または最小値が存在しない場合は、「なし」と答えます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = 2x^2 - 4x + 3 = 2(x^2 - 2x) + 3$

$y = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 3 = 2((x-1)^2 - 1) + 3$

$y = 2(x-1)^2 - 2 + 3 = 2(x-1)^2 + 1$

したがって、$y = 2(x-1)^2 + 1$ と変形できます。

この関数は、$x=1$ を軸とする下に凸の放物線です。定義域は $0 < x < 3$ なので、軸 $x=1$ は定義域に含まれます。

$x=1$ のとき、$y = 2(1-1)^2 + 1 = 1$ となり、これが最小値の候補となります。

ただし、$0 < x < 3$ であるため、$x=0$ および $x=3$ は定義域に含まれません。

$x=0$ に近づくとき、$y$ は $2(0-1)^2 + 1 = 2 + 1 = 3$ に近づきます。

$x=3$ に近づくとき、$y$ は $2(3-1)^2 + 1 = 2(2)^2 + 1 = 8 + 1 = 9$ に近づきます。

$x=3$ に近づくときに、$y$ の値は $9$ に近づきます。しかし、$x=3$ は定義域に含まれないので、最大値は存在しません。

よって、最小値は $x=1$ のとき $y=1$ であり、最大値は存在しません。

3. 最終的な答え

最大値: なし ($x=$ なし のとき) 最小值: 1