四角形ABCDは平行四辺形であり、$BM = MC$ であるとき、$x$の値を求める問題です。ここで、$x$は線分$DO$の長さを表しています。また、$AB = 30$ cmです。

1. 問題の内容

四角形ABCDは平行四辺形であり、$BM = MC$ であるとき、$x$の値を求める問題です。ここで、$x$は線分$DO$の長さを表しています。また、$AB = 30$ cmです。

2. 解き方の手順

* 平行四辺形の性質より、対角線はそれぞれの中点で交わります。よって、$O$は$AC$の中点かつ$BD$の中点です。

* $BM = MC$より、$M$は$BC$の中点です。

* 三角形の頂点から対辺の中点に引いた線（中線）は、三角形の重心で交わります。この問題では、線分$AM$と線分$BD$の交点が$G$であるため、$G$は三角形$ABC$の重心ではありません。一方、線分$AM$は三角形$ABC$の中線、線分$DG$も何らかの三角形の中線の一部となります。

* $M$が$BC$の中点であり、$O$が$AC$の中点であることから、$MO$は三角形$ABC$の中線の中線と捉えることができる。

* 重心$G$は中線を $2:1$ に内分します。しかしながら、この問題では、$G$は三角形$ABD$の重心ではないため、単純に$DG:GO = 2:1$とは言えません。

* 平行四辺形の性質から、$AD=BC$です。また、$BM=MC$より、$BM=MC=BC/2=AD/2$となります。

* 平行線と線分の比の関係を使います。$AD$と$BC$は平行なので、三角形$BMO$と三角形$DAO$は相似です。したがって、$BO:DO=BM:AD$です。

* $BO = DO$なので、$DO:DO = AD/2:AD$、つまり、$1:1=1/2:1$が成り立ちます。

* $BO:DO=BM:AD$に$BM=AD/2$を代入すると、$BO:DO=AD/2:AD=1:2$となります。

$BO:DO=1:2$、かつ、$BO+DO=BD$、かつ、$BO+DO=2DO$が成り立つので、$BO=DO$ではありません。

* 三角形$ABC$において、$AM$は中線、$O$は$AC$の中点、$M$は$BC$の中点です。ここで、$BO:DO=1:2$を使うのではなく、$O$が$BD$の中点であること（平行四辺形の対角線は互いに二等分する）、そして$DO = x$であることから、$BO = x$となります。$BD = BO + DO = x + x = 2x$となります。

* 重心の性質に着目します。MはBCの中点なので、AMは中線です。Oは対角線ACの中点なので、BOを結んだ線も中線の一部となります。点Gが重心であるとは限りません。

* $BM = MC$であり、平行四辺形の性質から$AD \parallel BC$です。したがって、$\triangle OAD \sim \triangle OMB$です。

* 相似比は、$AD:BM = AD: (BC/2) = AD: (AD/2) = 2:1$です。

* したがって、$DO:BO = AO:MO = AD:BM = 2:1$です。

* $AO$と$MO$の関係は不明です。$DO:BO = 2:1$なので、$DO = 2BO$です。

3. 最終的な答え

$x = 15$