一辺の長さが4である正四角錐について、表面積と体積を求めます。

1. 問題の内容

一辺の長さが4である正四角錐について、表面積と体積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 表面積：

正四角錐の表面積は、底面の正方形の面積と、4つの側面の二等辺三角形の面積の和で求められます。

* 底面の正方形の面積： $4 \times 4 = 16$

* 側面の二等辺三角形の高さ（斜辺）を求めます。

底面の正方形の中心から二等辺三角形の頂点までの距離をhとすると、三平方の定理より、$2^2+h^2=4^2$が成り立ちます。

$h^2 = 4^2 - 2^2 = 16 - 4 = 12$

$h = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

* 側面の二等辺三角形の面積： $(1/2) \times 4 \times 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$

* 側面の二等辺三角形は4つあるので、その合計面積は、$4 \times 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$

* 表面積： 底面積 + 側面積 = $16 + 16\sqrt{3}$

(2) 体積：

正四角錐の体積は、$(1/3) \times 底面積 \times 高さ$ で求められます。

* 底面積は、$4 \times 4 = 16$

* 高さを求めます。

正四角錐の底面の中心から頂点までの距離をHとします。

底面の中心から頂点までの距離Hは、三平方の定理より、$H^2 + (\sqrt{2} \times 2)^2 = 4^2$が成り立ちます。なぜなら、底面の正方形の中心から各頂点までの距離は、$2\sqrt{2}$だからです。

$H^2 + 8 = 16$

$H^2 = 8$

$H = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

* 体積：$(1/3) \times 16 \times 2\sqrt{2} = (32\sqrt{2})/3$

3. 最終的な答え

(1) 表面積： $16 + 16\sqrt{3}$

(2) 体積： $\frac{32\sqrt{2}}{3}$