一辺の長さが4である正四角錐の表面積と体積を求めます。

1. 問題の内容

一辺の長さが4である正四角錐の表面積と体積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 表面積

まず、正四角錐の底面積を求めます。底面は一辺が4の正方形なので、面積は $4 \times 4 = 16$ です。

次に、側面の三角形の面積を求めます。側面は合同な二等辺三角形で、底辺の長さは4、他の2辺の長さは4です。

側面の三角形の高さを $h$ とすると、三平方の定理より $h^2 + 2^2 = 4^2$、つまり $h^2 + 4 = 16$。

したがって、$h^2 = 12$、$h = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$。

側面の三角形の面積は $\frac{1}{2} \times 4 \times 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ です。

側面は4つあるので、側面積は $4 \times 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$ です。

したがって、表面積は底面積と側面積の和で、$16 + 16\sqrt{3}$ です。

(2) 体積

正四角錐の高さを $H$ とします。底面の中心から頂点までの距離は $H$ です。底面の対角線の半分は $2\sqrt{2}$ なので、

三平方の定理より $H^2 + (2\sqrt{2})^2 = 4^2$、つまり $H^2 + 8 = 16$。

したがって、$H^2 = 8$、$H = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$。

正四角錐の体積は $\frac{1}{3} \times \text{底面積} \times \text{高さ}$ で求められます。

したがって、体積は $\frac{1}{3} \times 16 \times 2\sqrt{2} = \frac{32\sqrt{2}}{3}$ です。

3. 最終的な答え

(1) 表面積: $16 + 16\sqrt{3}$

(2) 体積: $\frac{32\sqrt{2}}{3}$