点Oは三角形ABCの外心であり、$∠BAC = 50^\circ$、$∠ABO = 40^\circ$であるとき、$∠P$の大きさを求める問題です。ここで、点Pは線分BOとACの交点です。

1. 問題の内容

点Oは三角形ABCの外心であり、$∠BAC = 50^\circ$、$∠ABO = 40^\circ$であるとき、$∠P$の大きさを求める問題です。ここで、点Pは線分BOとACの交点です。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABCにおいて、$∠BAC = 50^\circ$が与えられています。

外心Oは三角形の各頂点から等距離にあるので、$OA = OB$です。

したがって、三角形OABは二等辺三角形であり、$∠BAO = ∠ABO = 40^\circ$です。

次に、$∠BAC = ∠BAO + ∠OAC$なので、$50^\circ = 40^\circ + ∠OAC$が成り立ちます。

これから、$∠OAC = 50^\circ - 40^\circ = 10^\circ$となります。

同様に、$OA = OC$なので、三角形OACは二等辺三角形であり、$∠OCA = ∠OAC = 10^\circ$です。

三角形ABCにおいて、$∠ABC = ∠ABO + ∠OBC$です。

ここで、$∠ACB = ∠OCA + ∠OCB$です。

三角形の内角の和は$180^\circ$なので、$∠ABC + ∠BCA + ∠CAB = 180^\circ$となります。

$∠ABC + ∠BCA + 50^\circ = 180^\circ$

$∠ABC + ∠BCA = 130^\circ$

$∠OBC$と$∠OCB$を求めるため、$∠AOB=2∠ACB$、$∠BOC=2∠BAC$、$∠COA=2∠ABC$を利用します。

しかし、PはBOとACの交点なので、求めるのは$∠BPA$です。

$∠BPA = 180^\circ - ∠PAB - ∠PBA = 180^\circ - ∠OAC - ∠ABO = 180^\circ - 10^\circ - 40^\circ = 130^\circ$です。

3. 最終的な答え

$∠P = 130^\circ$