点Oが三角形ABCの外心であるとき、$\angle BAC = 60^\circ$、$\angle ABO = 17^\circ$ のとき、$\angle P$を求めよ。ここで、点Pは線分BOを延長し、ACとの交点とする。

1. 問題の内容

点Oが三角形ABCの外心であるとき、$\angle BAC = 60^\circ$、$\angle ABO = 17^\circ$ のとき、$\angle P$を求めよ。ここで、点Pは線分BOを延長し、ACとの交点とする。

2. 解き方の手順

まず、外心の性質より、$OA = OB$であるから、$\triangle OAB$は二等辺三角形である。

よって、$\angle OAB = \angle OBA = 17^\circ$となる。

$\angle BAC = 60^\circ$なので、$\angle OAC = \angle BAC - \angle OAB = 60^\circ - 17^\circ = 43^\circ$となる。

外心の性質より、$OA = OC$であるから、$\triangle OAC$は二等辺三角形である。

よって、$\angle OCA = \angle OAC = 43^\circ$となる。

$\angle BOC$は$\angle BAC$の中心角であるから、$\angle BOC = 2 \angle BAC = 2 \times 60^\circ = 120^\circ$となる。

$\triangle OBC$も二等辺三角形であり、$OB = OC$であるから、$\angle OBC = \angle OCB$となる。

$\angle OBC + \angle OCB + \angle BOC = 180^\circ$より、 $2 \angle OBC + 120^\circ = 180^\circ$となる。

$2 \angle OBC = 60^\circ$より、$\angle OBC = 30^\circ$となる。

$\angle ABC = \angle ABO + \angle OBC = 17^\circ + 30^\circ = 47^\circ$となる。

$\triangle ABC$において、$\angle ACB = \angle ACO + \angle OCB = 43^\circ + 30^\circ = 73^\circ$となる。

したがって、$\angle ABC + \angle BAC + \angle ACB = 47^\circ + 60^\circ + 73^\circ = 180^\circ$となる。

$\triangle ABP$において、$\angle ABP = \angle ABO = 17^\circ$、$\angle BAP = \angle BAC = 60^\circ$なので、

$\angle P = 180^\circ - \angle ABP - \angle BAP = 180^\circ - 17^\circ - 60^\circ = 180^\circ - 77^\circ = 103^\circ$

3. 最終的な答え

103°