袋の中に赤玉2個、白玉3個、青玉5個が入っている。この袋から3個の玉を同時に取り出すとき、少なくとも1個が白玉である確率を求める。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉2個、白玉3個、青玉5個が入っている。この袋から3個の玉を同時に取り出すとき、少なくとも1個が白玉である確率を求める。

2. 解き方の手順

少なくとも1個が白玉である確率は、1から「3個とも白玉でない」確率を引くことで求められます。

まず、すべての玉の個数は $2 + 3 + 5 = 10$ 個です。

10個の玉から3個の玉を取り出す組み合わせの総数は、$_{10}C_3$で計算できます。

$_{10}C_3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$

次に、「3個とも白玉でない」場合を考えます。これは、赤玉2個と青玉5個の合計7個から3個を選ぶ組み合わせです。

これは、$_{7}C_3$で計算できます。

$_{7}C_3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 7 \times 5 = 35$

したがって、「3個とも白玉でない」確率は、$\frac{35}{120} = \frac{7}{24}$ です。

求める確率は、1からこの確率を引いたものです。

$1 - \frac{7}{24} = \frac{24}{24} - \frac{7}{24} = \frac{17}{24}$

3. 最終的な答え

$\frac{17}{24}$