正三角形$ABC$があり、一辺の長さは8cmです。点$D$は辺$BC$の中点であり、$BE = 6$cmです。 (i) 線分$AD$の長さを求めます。 (ii) 線分$AE$の長さを求めます。 (iii) 点$B$から線分$AE$に垂線を下ろし、交点を$H$とするとき、線分$BH$の長さを求めます。

はい、承知いたしました。数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

正三角形$ABC$があり、一辺の長さは8cmです。点$D$は辺$BC$の中点であり、$BE = 6$cmです。

(i) 線分$AD$の長さを求めます。

(ii) 線分$AE$の長さを求めます。

(iii) 点$B$から線分$AE$に垂線を下ろし、交点を$H$とするとき、線分$BH$の長さを求めます。

2. 解き方の手順

(i) 線分$AD$の長さを求める。

$AD$は正三角形$ABC$の中線なので、三角形$ABD$は直角三角形です。

$BD = BC/2 = 8/2 = 4$cmです。

三平方の定理より、

$AD^2 + BD^2 = AB^2$

$AD^2 + 4^2 = 8^2$

$AD^2 = 64 - 16 = 48$

$AD = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$cm

(ii) 線分$AE$の長さを求める。

余弦定理を三角形$ABE$に適用します。$\angle ABE = 60^\circ$なので、

$AE^2 = AB^2 + BE^2 - 2 \cdot AB \cdot BE \cdot \cos{60^\circ}$

$AE^2 = 8^2 + 6^2 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot (1/2)$

$AE^2 = 64 + 36 - 48 = 52$

$AE = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$cm

(iii) 線分$BH$の長さを求める。

三角形$ABE$の面積を2通りの方法で求めます。

まず、$AE$を底辺とした場合、$BH$が高さになるので、

$S = (1/2) \cdot AE \cdot BH = (1/2) \cdot 2\sqrt{13} \cdot BH = \sqrt{13} BH$

次に、$AB$を底辺とした場合、高さは点$E$から$AB$への垂線となります。

三角形$ABE$の面積は、$S = (1/2)AB\cdot BE \sin{60} = \frac{1}{2}\times 8 \times 6\times \frac{\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{3}$

これらを等しいとおくと、

$\sqrt{13}BH=12\sqrt{3}$

$BH = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{13}} = \frac{12\sqrt{39}}{13}$cm

3. 最終的な答え

(i) 線分$AD$の長さ: $4\sqrt{3}$ cm

(ii) 線分$AE$の長さ: $2\sqrt{13}$ cm

(iii) 線分$BH$の長さ: $\frac{12\sqrt{39}}{13}$ cm